[論文レビュー] The almost sure limits of the minimal position and the additive martingale in a branching random walk

Yueyun Hu|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Nov 22, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は境界ケースにおける分岐ランダムウォークにおいて、最小位置のほとんど確実な下限および加法的マルティンググールの上限を特徴付ける積分的テストを確立する。AïdékonとShiの手法を用いて、最小位置のliminfから1/2 log nを引いたものがほとんど確実に -log log n に等しくなることを証明し、加法的マルティンググールの減衰率に関する精密な積分的基準を導出する。

ABSTRACT

Consider a real-valued branching random walk in the boundary case. Using the techniques developed by Aïdékon and Shi [5], we give two integral tests which describe respectively the lower limits for the minimal position and the upper limits for the associated additive martingale.

研究の動機と目的

• 境界ケースにおける分岐ランダムウォークの最小位置のほとんど確実な下限を特徴付けること。
• 境界ケースにおける加法的マルティンググールの減衰率に関する積分的テストを導出すること。
• 最小位置から1/2 log nを引いたもののliminfが、決定的列によって下から有界であるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• Seneta-Heydeのノルミングを用いて加法的マルティンググールの収束の正確な速度を確立すること。
• マルティンググール技法およびサイズバイアス測度を用いて、最小位置および加法的マルティンググールのフラクチュエーション行動を拡張すること。

提案手法

• 境界ケースにおける分岐ランダムウォークを分析するために、サイズバイアスマルティンググール測度およびスパイン分解技法を適用する。
• 加法的マルティンググール $ W_n $ の振る舞いを制御するために、導関数マルティンググール $ D_n $ 及びその極限 $ D_ au $ を用いる。
• 測度変換 $ bQ^{( heta)} $ を用いて、$ ilde{W}_n^{( heta)} $ と $ D_n^{( heta)} $ の比 $ rac{ ilde{W}_n^{( heta)}}{D_n^{( heta)}} $ の漸近的挙動を研究する。ここで $ ilde{W}_n^{( heta)} $ は $ W_n $ のサイズバイアス版である。
• ドーブの $ L^2 $ 不等式および分散の上限を用いて、$ bQ^{( heta)} $ の下で $ rac{ ilde{W}_n^{( heta)}}{D_n^{( heta)}} $ が定数 $ heta $ にほとんど確実に収束することを証明する。
• イベントが無限回起こる確率 $ bP^*(bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n < -f(n) ext{ i.o.}) $ が 0 または 1 であるかどうかを決定するための精密な積分的基準 $ extstyleigintsss^ty rac{dt}{t ext{exp}(f(t))} = ty $ を導出する。
• ボレル・カンテーリーの補題および指数モーメントの推定を用いて、最小位置の下側尾根におけるレアイベントの確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐ランダムウォークの境界ケースにおいて、$ bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n $ の正確なほとんど確実な下限は何か？
• RQ2 $ bP^*(bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n < -f(n) ext{ i.o.}) $ が 0 または 1 に等しくなるような決定的列 $ f(n) $ が存在するか？
• RQ3 加法的マルティンググール $ W_n $ の収束の正確な速度は何か？また、導関数マルティンググール $ D_n $ を用いて正規化可能か？
• RQ4 スパイン分解およびサイズバイアス測度を通じて、加法的マルティンググールの挙動は最小位置とどのように関係するか？
• RQ5 最小位置が $ -f(n) $ より下に無限回降下するかどうかを決定する積分的条件は何か？

主な発見

• 最小位置のliminfはほとんど確実に $ - ext{log} hinspace ext{log} hinspace n $ に等しく、すなわち $ bP^* ext{-a.s.} \ ext{liminf}_{n oty} rac{1}{ ext{log} hinspace ext{log} hinspace n} ig( bM_n - frac{1}{2} ext{log} hinspace n ig) = -1 $ である。
• イベントが無限回起こるかどうかを決定する積分的テストが成立：$ bP^*( ext{event i.o.}) = 1 $ であるための必要十分条件は $ extstyleigintsss^ty rac{dt}{t ext{exp}(f(t))} = ty $ である。
• 加法的マルティンググール $ W_n $ は、$ bP^* ext{-a.s.} \ ext{liminf}_{n oty} rac{ ext{log} hinspace W_n}{ ext{log} hinspace n} = -rac{1}{2} $ および $ bP^* ext{-a.s.} \ ext{liminf}_{n oty} rac{1}{ ext{log} hinspace ext{log} hinspace n} ext{log} hinspace W_n = -rac{1}{2} $ を満たす。
• $ bQ^{( heta)} $ の下で、$ rac{ ilde{W}_n^{( heta)}}{D_n^{( heta)}} \to \theta $ がほとんど確実に成り立ち、ここで $ \theta $ は導関数マルティンググールを用いて定義される正の定数である。
• $ \frac{\tilde{W}_n^{(\theta)}}{D_n^{(\theta)}} $ の分散は $ n^{-\theta_2} $ のように多項式的に減少するため、ボレル・カンテーリーの補題を用いてほとんど確実な収束を証明できる。
• 結果は、最小位置が $ \text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ スケールでフラクチュエートすること、加法的マルティンググールが $ \text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ に支配される速度で減衰することを確認しており、積分的テストにより精密な確率的閾値が与えられている。