[論文レビュー] The Alon-Tarsi number of a planar graph minus a matching

Jarosław Grytczuk, Xuding Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の平面的グラフ $G$ が、$G - M$ のアロン-ターリング数が 4 未満または等しいようなマッチング $M$ を含むことを証明している。このことは、$G - M$ が 4-ペイント可能であり、$G$ が 1-欠損 4-ペイント可能であることを示唆する。この結果は、欠損リスト彩色に関する先行研究を強化し、アロン-ターリング枠組みにおける多項式的手法と単項式の消滅しない条件を用いた構成的アプローチを提供する。

ABSTRACT

This paper proves that every planar graph $G$ contains a matching $M$ such that the Alon-Tarsi number of $G-M$ is at most $4$. As a consequence, $G-M$ is $4$-paintable, and hence $G$ itself is $1$-defective $4$-paintable. This improves a result of Cushing and Kierstead [Planar Graphs are 1-relaxed, 4-choosable, {\em European Journal of Combinatorics} 31(2010),1385-1397], who proved that every planar graph is $1$-defective $4$-choosable.

研究の動機と目的

• 任意の平面的グラフ $G$ が、$G - M$ が 4-チョーザブルであるようなマッチング $M$ を含むかどうかを特定すること。これは、欠損リスト彩色のより強いバージョンを扱う。
• マッチングを除いた後の平面的グラフのアロン-ターリング数を調査し、そのグラフが 4-チョーザブルにどれほど近いかを測る。
• 欠損リスト彩色およびオンラインリスト彩色（ペイントゲーム）に関する結果を、欠損辺がマッチングによって事前に指定された設定に拡張すること。
• グラフ $G - M$ のアロン-ターリング数が 4 未満または等しいことを証明すること。これは、$G - M$ が 4-ペイント可能であり、$G$ が 1-欠損 4-ペイント可能であることを示唆する。
• これらの結果を符号付き平面的グラフに一般化し、あるマッチング $M$ に対して $AT(G - M, \sigma) \leq 4$ が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 頂点関数 $f$ に対して $\eta(v) < f(v)$ を満たす次数割り当て $\eta$ を中心に、単項式の消滅しない条件を分析するため、アロン-ターリング多項式 $P_G(\mathbf{x})$ を使用する。
• 特に、$P_{G-e-M}(\mathbf{x})$ 及びその係数を分析することで、辺の除去とマッチングの拡張に基づく多項式の再帰的分解を適用する。
• 符号付きグラフにおけるアロン-ターリング多項式の一般化：$P_{G,\sigma}(\mathbf{x}) = \prod_{u\sim v, u<v} (x_v - \sigma(uv)x_u)$ を用い、結果を符号付き平面的グラフに拡張する。
• 頂点次数および単項式係数に関する場合分けを用い、帰納法と係数の伝達を用いて、特定の条件下で $c_{G-e-M, \eta} \neq 0$ を示す。
• 関数 $f$ に対するアロン-ターリング条件：すべての $v$ に対して $\eta(v) < f(v)$ を満たす消滅しない単項式 $\mathbf{x}^\eta$ が存在する場合、グラフは $f$-AT である。これは $f$-ペイント可能性を示唆する。
• 証明を修正し、頂点ごとのリストサイズを指定可能にする：$p$ 個の頂点に対して $f(v) = 5$、他の頂点に対して $f(v) = 4$ とし、$f$-ペイント可能性および $f$-チョーザブル性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の平面的グラフ $G$ に対して、$G - M$ のアロン-ターリング数が 4 未満または等しいようなマッチング $M$ が存在するか？
• RQ2 平面的グラフの 1-欠損 4-チョーザブル性は、欠損辺をマッチングによって事前に指定することで強化可能か？
• RQ3 マッチングを除いた平面的グラフのアロン-ターリング数は 4 で有界であり、これは $G - M$ が 4-ペイント可能であることを示唆するか？
• RQ4 平面的グラフに関する結果は、符号付き平面的グラフに拡張可能か？すなわち、あるマッチング $M$ に対して $AT(G - M, \sigma) \leq 4$ が成り立つか？
• RQ5 頂点集合 $X$ で $|X| < |V(G)|/2$ を満たすものが存在し、$X$ の頂点に 5 色、他の頂点に 4 色を割り当てることで $L$-彩色可能になるか？

主な発見

• 任意の平面的グラフ $G$ は、$G - M$ のアロン-ターリング数が 4 未満または等しいようなマッチング $M$ を含む。これは、$G - M$ が 4-ペイント可能であることを示唆する。
• その結果、$G$ は 1-欠損 4-ペイント可能である。これは、Cushing と Kierstead が示した 1-欠損 4-チョーザブル性の結果を改善する。
• 頂点 $p$ 個に対して $f(v) = 5$、他の頂点に対して $f(v) = 4$ となる関数 $f$ に対して、$G$ は $f$-アロン-ターリングである。これにより、$f$-ペイント可能かつ $f$-チョーザブルであることが保証される。
• $|V(G)|/2$ より小さいサイズの頂点集合 $X$ が存在し、$X$ の頂点に 5 色、他の頂点に 4 色を割り当てることで $G$ の $L$-彩色可能性が保証される。これは 5-チョーザブル性を強化する。
• 結果は符号付き平面的グラフに拡張可能である：あるマッチング $M$ に対して $AT(G - M, \sigma) \leq 4$ が成り立つ。これにより、$(G - M, \sigma)$ は 4-チョーザブルであり、$G$ は 1-欠損 4-チョーザブルである。
• 単項式の消滅しない性質に基づく多項式の証明技法により、このようなマッチングおよび彩色割り当てを構成的に特定可能である。