[論文レビュー] The Ambrosetti-Prodi periodic problem: Different routes to complex dynamics

Elisa Sovrano, Fabio Zanolin|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、第1固有値を跨ぐ非線形項を有する2階常微分方程式のAmbrosetti-Prodi周期的問題を検討し、Melnikov法と位相的ホースシュー理論の2つの異なる手法を用いて無限個の周期的解と複雑な力学的挙動の存在を示している。主な貢献は、ある種の周期的駆動非線形振動子において、記号的力学を用いた厳密なカオス的挙動の証明である。

ABSTRACT

We consider a second order nonlinear ordinary differential equation of the form $u'' + f(u) = p(t)$ where the forcing term $p(t)$ is a $T$-periodic function and the nonlinearity $f(u)$ satisfies the properties of Ambrosetti-Prodi problems. We discuss the existence of infinitely many periodic solutions as well as the presence of complex dynamics under different conditions on $p(t)$ and by using different kinds of approaches. On the one hand, we exploit the Melnikov's method and, on the other hand, the concept of "topological horseshoe".

研究の動機と目的

• 周期的駆動を受ける2階常微分方程式のAmbrosetti-Prodi型において、無限個の周期的解が存在することの分析。
• 異なる駆動条件の下で、カオスを含む複雑な力学的挙動がどのように出現するかの調査。
• カオス的挙動を検出するための2つの解析的手法—Melnikov法と位相的ホースシュー理論—の比較と対比。
• Poincaré写像において記号的力学と位相的ホースシューが生じる厳密な条件の確立。
• Prodiが提起したAmbrosetti-Prodi問題の周期的ケースに関する未解決問題に応えることにより、古典的結果を複雑な力学的挙動を有する系へと拡張すること。

提案手法

• Melnikov法を用いて横断的ホモクライン軌道を検出することで、周期的駆動系におけるカオス的挙動の存在を示す。
• Poincaré写像における位相的ホースシューの存在を確認するための「経路に沿った引き伸ばし」の概念の適用。
• 向き付けられた長方形とコンパクト集合を用いて、複数の記号上でカオス的挙動を示す引き伸ばし条件を定義する。
• 合成Poincaré写像 Ψ = Ψ₂ ∘ Ψ₁ をホメオモルフィズムとして構成し、位相的ツールを用いてカオスを検出可能にする。
• φ が長方形を交差数 n ≥ 2 で他に写像する、および ψ が逆に m ≥ 2 で写像する2つの写像 φ と ψ に対して、引き伸ばし条件を検証する。このとき、定理4.4を満たす。
• 定理4.4を活用して、合成写像 ϕ = ψ ∘ φ が n×m 個の記号上でカオス的挙動を誘導することを結論づける。これにより、稠密な周期的軌道とベルヌーイシフトへの準同型写像が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的駆動項 p(t) と非線形項 f(u) がどのような条件下で、Ambrosetti-Prodi系に無限個の周期的解を有するか。
• RQ2 Melnikov法は、周期的係数と非対称非線形項を有する2階常微分方程式におけるカオス的挙動をどのように検出できるか。
• RQ3 位相的ホースシュー手法は、古典的手法に比べて、どのような場合により強い複雑な力学的挙動の証拠を提供するか。
• RQ4 Poincaré写像は、Ambrosetti-Prodi周期的問題における記号的力学とカオス的挙動を検出するために果たす役割は何か。
• RQ5 Melnikov法と位相的ホースシュー理論を併用して、同じ系においてカオスの存在を確認できるか。そのような一致が成立するための条件は何か。

主な発見

• f(u) がAmbrosetti-Prodi条件を満たし、T周期的な p(t) を有する系 u'' + f(u) = p(t) は、適切な駆動の下で無限個の周期的解を有する。
• Melnikov法により横断的ホモクライン軌道が検出され、系にカオス的挙動が存在することが示唆される。
• Poincaré写像 Ψ = Ψ₂ ∘ Ψ₁ はホメオモルフィズムであるため、長期的挙動の解析に位相的ツールを適用可能である。
• 引き伸ばし条件が n ≥ 2 および m ≥ 2 で満たされるとき、合成写像 ϕ = ψ ∘ φ は n×m 個の記号上でカオス的挙動を誘導する。
• 位相的ホースシューの存在は、m ≥ 2 個の記号上でベルヌーイシフトへの準同型写像となる非空コンパクト不変集合 Λ が存在することを示唆する。
• Poincaré写像の周期的点の集合は、不変集合 Λ 内で稠密であるため、カオス的領域内に豊富な周期的構造が存在することが確認される。