[論文レビュー] The Amemiya-Ando conjecture falls

Adam Paszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、無限次元ヒルベルト空間において、5つの直交射影からなる有限集合からの射影の積が、あるベクトルに対してノルムで発散することを証明することで、Amemiya-Ando予想を解決した。証明は、ユニタリ回転と反復近似を用いた射影の列を構成し、ノルム発散を示した。これにより、このような積が常に強く収束するとの長年の予想が反証された。

ABSTRACT

In any infinite dimensional Hilbert space H, a sequence P_n...P_1 x diverges in norm for some x \in H and orthogonal projections P_n \in {Q_1,..., Q_5}.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における有限個の射影からの射影の積が強く収束すると仮定するAmemiya-Ando予想を解決すること。
• 2つを超える射影の積について、直交かつ有限個であっても、一般にノルム収束が成立しないことを示すこと。
• 無限次元ヒルベルト空間において、初期ベクトルに対して射影の積がノルムで発散する明示的な反例を構成すること。
• 5つの射影があれば十分であり、長年の未解決問題を閉じること。

提案手法

• 固定された2次元部分空間に直交する補空間上の補助的ベクトルに対してユニタリ変換を適用し、$ \dim(P_s - P_{s-1}) = 1 $ を満たす入れ子になった射影 $ P_0 \leq \dots \leq P_r $ を構成する。
• 固定された2次元射影 $ E = \hat{e} + \hat{e}' $ の直交補空間上で、ベクトルを回転させるユニタリ作用素 $ U_s $ を用い、反復射影の極限挙動を制御する。
• 鍵となる恒等式 $ (E U_s P U_s^* E)^n \to \hat{f}_s $ を用い、$ n \to \infty $ かつ $ \delta_s \to 0 $ のとき、$ E $ 内での任意の1次元射影を近似可能である。
• 補題1を適用し、より大きな射影集合からの積を用いて、2次元部分空間内での任意の有限個の1次元射影の列を近似する。
• 各部分空間 $ F_i $ が特定の方向に成分を増幅させる単項式を支持するように、ヒルベルト空間を直交部分空間にタイル張りし、グローバルな反例を構成する。
• 互いに交わらない部分空間上で、交互に単項式 $ A_{2k}(P,Q,E) $ と $ A_{2k+1}(R,S,E) $ を組み合わせ、有界で収束しない成分を持つベクトル列を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ヒルベルト空間における有限個の直交射影からなる集合からの射影の積は、常にノルムで収束するか？
• RQ2 5つの直交射影からなる列において、ある初期ベクトルに対して射影の積がノルムで発散する可能性はあるか？
• RQ3 Amemiya-Ando予想（このような積が強く収束する）は、無限次元ヒルベルト空間において有効か？
• RQ4 無限次元ヒルベルト空間でノルム発散を達成するために必要な最小の射影数は何か？

主な発見

• Amemiya-Ando予想は誤りである：任意の無限次元ヒルベルト空間において、$ Q_1, \dots, Q_5 $ という5つの直交射影が存在し、ある $ x \in H $ に対して $ P_n \dots P_1 x $ がノルムで発散する。
• $ \epsilon > 0 $ に対して、$ \dim(P_s - P_{s-1}) = 1 $ を満たす射影 $ P_0 \leq \dots \leq P_r $ が存在し、$ \| (E P_s E)^{n(s)} - \hat{f}_s \| < \epsilon $ となる。これにより、2次元部分空間内での任意の有限個の1次元射影の列を近似可能である。
• 構成により $ \| (E (P Q P)^{m(s)} E)^{n(s)} - \hat{f}_s \| < \epsilon $ が成り立つ。これは、3つの射影からの単項式が2次元部分空間内で任意の1次元射影を模倣できることを示す。
• 直交部分空間 $ F_i $ にタイル張りし、各 $ F_i $ が特定の方向に成分を $ \eta_i > 1 - \epsilon_i $ の割合で増幅させる単項式を支持するように構成することで、積列が消えない成分を蓄積し、ノルム発散を引き起こす。
• 積列 $ A_{2k}(P,Q,E) A_{2k-1}(R,S,E) \dots A_1(R,S,E) e_1 $ の成分は $ \langle x_{2k}, e_{2k+1} \rangle = \eta_1 \dots \eta_{2k} $ であり、$ \prod \eta_i > 0 $ であるため、ノルムで収束しない。
• 反例は5つの射影のみを用いる：$ \{P, Q, R, S, E\} $、ここで $ E = \sum \hat{e}_i $ であり、5つの射影で十分にノルム収束が破れることが示された。