[論文レビュー] The analogs of the Riemann tensor for exceptional structures on supermanifolds

Pavel Grozman, Dimitry Leites+1 more|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ワイスフェーラー順序付けの下で15種類の例外的単純無限次元ベクトル場的リーヒルベルトスーパー代数について、$ i = 0,1,2 $ における $ H^i(\frak{g}_{-}; \frak{g}) $ のコホモロジーを計算する。主な結果は、$ H^2 $ が超多様体における非可積分接続テンソルの値の空間として特定されることであり、$ \dim H^2 = (140|140) $ である $ \frak{ksle}(9|6;2) $ スーパー代数のような例外的ケースにおいても非自明な曲率が存在することを示しており、非可積分構造における曲率のスーパー類似物を明らかにする。

ABSTRACT

H. Hertz called any manifold M with a given nonintegrable distribution {\it nonholonomic}. Vershik and Gershkovich stated and R. Montgomery proved that the space of germs of any nonholonomic distribution on M with an open and dense orbit of the diffeomorphism group is either (1) of codimension one or (2) an Engel distribution. No analog of this statement for supermanifolds is formulated yet, we only have some examples: our list (an analog of E.Cartan's classification) of simple Lie superalgebras of vector fields with polynomial coefficients and a particular (Weisfeiler) grading contains 16 series similar to contact ones and 11 exceptional algebras preserving nonholonomic structures. Here we compute the cohomology corresponding to the analog of the Riemann tensor for the SUPERmanifolds corresponding to the 15 exceptional simple vectorial Lie superalgebras, 11 of which are nonholonomic. The cohomology for analogs of the Riemann tensor for the manifolds with an exceptional Engel manifolds are computed in math.RT/0202213.

研究の動機と目的

• 非可積分超多様体におけるリーヒルベルトスーパー代数のコホモロジーを用いて、古典的リーマン曲率の概念を拡張すること。
• 非可積分分布を保存する例外的単純ベクトル場的リーヒルベルトスーパー代数について、曲率に類する不変量を分類および計算すること。
• 古典的状況におけるR.モンゴメリーの結果のスーパー幾何的類似物を提供すること。
• 非再帰的かつ無限次元のリーヒルベルトスーパー代数を研究するにあたり、SuperLieのような計算ツールの必要性を示すこと。
• ワイスフェーラー順序付けにおける $ \frak{g}_{-} $-加群のコホモロジーを分析することで、スーパー幾何における曲率理論の基盤を確立すること。

提案手法

• 例外的単純ベクトル場的リーヒルベルトスーパー代数のワイスフェーラー順序付けを用いて、$ i = 0,1,2 $ におけるリーヒルベルトスーパー代数のコホモロジー $ H^i(\frak{g}_{-}; \frak{g}) $ を計算する。
• $ H^2(\frak{g}_{-}; \frak{g}) $ を、非可積分分布を持つ超多様体における非可積分曲率テンソルの値の空間として解釈する。
• 非再帰的および無限次元のスーパー代数に対して、特にコホモロジー計算を実行するために、MathematicaにおけるSuperLieパッケージを用いる。
• $ \frak{g}_0 $-加群構造をコホモロジーで分析し、既約成分とその次元を同定する。
• スペンサー・コホモロジーやカルタン拡張技術を用いて、スーパー幾何における非可積分分布の幾何を研究する。
• 手計算されたケース（例：ポレタエバ）と結果を比較することで、計算手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可積分超多様体におけるリーマン曲率テンソルのスーパー幾何的類似物は何か？
• RQ2 $ H^2(\frak{g}_{-}; \frak{g}) $ は、例外的超多様体構造における曲率情報をどのように符号化するか？
• RQ3 15種類の例外的単純ベクトル場的リーヒルベルトスーパー代数のうち、非自明な非可積分曲率をもつのはどれか？
• RQ4 完全可約性が成立しない状況下で、SuperLieパッケージは非再帰的かつ無限次元のリーヒルベルトスーパー代数のコホモロジーを信頼できる精度で計算できるか？
• RQ5 $ \frak{ksle}(9|6;2) $ スーパー代数の曲率空間の次元と構造は何か？

主な発見

• $ \frak{ksle}(9|6;2) $ スーパー代数に対して、$ \dim H^2(\frak{g}_{-}; \frak{g}) = (140|140) $ であり、非可積分曲率不変量の豊かな空間を示している。
• 15種類のスーパー代数のうち11種において $ H^2 $ が非自明であり、例外的非可積分超多様体における非自明な曲率が確認された。
• $ H^2 $ の $ \frak{g}_0 $-加群分解には、次元 $ (8|6) $、$ (0|1) $、および $ (160|160) $ の既約成分が含まれており、曲率不変量の多層構造が示された。
• $ \frak{ksle}(9|6;2) $ に対して $ H^0 $ の次元は $ (140|140) $ であり、$ \frak{sl}(3) \oplus \frak{sl}(2) $ の下で複数の既約表現を生成する最高重量ベクトルが張る。
• $ \frak{ksle}(9|6;2) $ の $ H^1 $ コホモロジーの次元は $ (8|8) $ であり、偶数部と奇数部の最高重量はそれぞれ $ (0,0,1) $、$ (1,0,1) $ および $ (0,0,1) $、$ (0,1,1) $ である。
• 結果は、伝統的手法が失敗する非再帰的かつ無限次元のリーヒルベルトスーパー代数を研究するにあたり、コンピュータ支援計算（SuperLieを用いたもの）が不可欠であることを裏付けた。