[論文レビュー] The Analogue of the Dedekind Eta Function for CY Manifolds I

Jamey Bass, Andrey Todorov|ArXiv.org|Mar 12, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正則化されたラプラシアンの行列式が、Weil-Petersson計量と正則バンドルのノルムに関係することを示す、Calabi-Yau (CY) 多様体に対するKronecker極限公式の最初の局所的類似を確立した。$ dd^c \log\det\Delta_{\tau,1} = -\operatorname{Im}(W.P.) $ であることを示し、行列式が判別式の特異点集合に関連する線分束の正則切断であることを示した。これは、楕円曲線の場合の $ \det\Delta_{\tau,1} = (\operatorname{Im}\tau)^2 |\eta(\tau)|^4 $ の一般化である。

ABSTRACT

This is the first of a series of articles in which we are going to study the regularized determinants of the Laplacians of Calabi Yau metrics acting on (0,q) forms on the moduli space of CY manifolds with a fixed polarization. It is well known that in case of the elliptic curves the Kronecker limit formula gives an explicit formula for the regularized determinants of the flat metrics with fixed volume on the elliptic curves. The following formula holds in this case; the regularized determinant is the product of the imaginary part of the complex number in the Siegel upper half plane with the Dedekind eta function. It is well known fact that the Dedekind eta function in power 24 is a cusp automorphic form of weight 12 related to the discriminant of the elliptic curve. Thus we can view that the regularized determinant is the norm of a section of some power of the line bundle of the classes of cohomologies of (1,0) forms of the elliptic curves over its moduli space. Our purpose is to generalize this fact in the case of CY manifolds. In this paper we will establish the local analogue of the Kronecker limit formula for CY manifolds.

研究の動機と目的

• 楕円曲線におけるKronecker極限公式をCalabi-Yau多様体に一般化し、正則化されたラプラシアンの行列式とDedekindのエータ関数との関係を拡張する。
• 固定された極性を持つCY多様体のモジュライ空間上での(0,1)-形式に対する正則化されたラプラシアンの行列式の局所公式を確立する。
• 行列式の対数微分がWeil-Petersson計量のポテンシャルであることを示し、解析的および幾何的不変量を結びつける。
• モジュライ空間上の相対的双対化層が位相的に自明であることを証明し、行列式が線分束の正則切断を定義することを示す。
• CY多様体の代数的判別式を、CY計量の正則化された行列式を用いて研究する基盤を提供する。

提案手法

• ラプラシアンの(0,q)-形式におけるゼータ関数の変分公式を用い、正則化された行列式のヘッセ行列およびアンチホールモーラル微分を計算する。
• 楕円曲線の場合のKronecker極限公式（$ \det\Delta_{\tau,1} = (\operatorname{Im}\tau)^2 |\eta(\tau)|^4 $）をモデルとし、これを高次元のCY多様体に一般化する。
• 熱核トレース公式を用いて、曲率形式の虚部としてWeil-Petersson計量を計算し、$ \log\det\Delta_{\tau,q} $ のヘッセ行列と関連付ける。
• 可縮極限とトレースクラス作用素を用いて、モジュライ空間上でのスぺクトルゼータ関数およびその導関数を解析する。
• 恒等式 $ \det\Delta_{\tau,n} = \det\Delta_{\tau,n-1}^{\prime\prime} $ を用い、(0,n)-形式上の計算を低次の形式に還元する。双対性とトレース恒等式を活用する。
• 線形作用素の空間上で $ \operatorname{Tr}(A \wedge \mathrm{id}_{n-1}) = \operatorname{Tr}(A) $ が成り立つことを利用して、バンドル値作用素のトレースを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線におけるKronecker極限公式を、正則化されたラプラシアンの行列式の観点から、Calabi-Yau多様体にどのように一般化できるか。
• RQ2 モジュライ空間上での $ \log\det\Delta_{\tau,q} $ のヘッセ行列の幾何的および解析的意味は何か。
• RQ3 (0,1)-形式上の正則化されたラプラシアンの行列式は、Weil-Petersson計量と正則バンドルのノルムの間でどのように関係するか。
• RQ4 モジュライ空間上での相対的双対化層 $ \pi_*\omega_{\mathcal{X}/\mathfrak{M}_L} $ は位相的に自明か。その場合、行列式関数にどのような意味があるか。
• RQ5 トレース恒等式と双対性を用いて、(0,n)-形式上のラプラシアンの行列式を低次の形式の計算に還元できるか。

主な発見

• $ \log\det\Delta_{\tau,1} $ のヘッセ行列は $ dd^c \log\det\Delta_{\tau,1} = -\operatorname{Im}(W.P.) $ を満たし、行列式がWeil-Petersson計量のポテンシャルであることを示した。
• 正則化された行列式 $ \det\Delta_{\tau,1} $ は $ (\operatorname{Im}\tau)^2 |\eta(\tau)|^4 $ に比例し、これは楕円曲線の場合の一般化としてCY多様体に拡張された。
• 相対的双対化層 $ \pi_*\omega_{\mathcal{X}/\mathfrak{M}_L} $ は位相的に自明である。これは $ dd^c \log\det\Delta_{\tau,1} $ の消滅により、その第一チャーン類がゼロであるためである。
• $ n $ 次元のCY多様体で $ (K_M)^{\otimes n} \cong \mathcal{O}_M $ を満たす場合、$ dd^c \log\det\Delta_{\tau,n} = -\operatorname{Im}(W.P.) $ が成り立ち、この結果を高次形式に拡張した。
• 作用素 $ A \wedge \mathrm{id}_{n-1} $ のトレースは $ \operatorname{Tr}(A) $ に等しく、トレース恒等式を用いて $ \det\Delta_{\tau,n} $ を $ \det\Delta_{\tau,n-1}^{\prime\prime} $ に還元できる。