[論文レビュー] The anisotropic $\infty$-Laplacian eigenvalue problem with Neumann boundary conditions

Gianpaolo Piscitelli|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、p → ∞ の極限において、ノイマン境界条件を満たす異方的p-ラプラシアン固有値問題の極限を調査し、最初の非自明固有値 Λ∞(Ω) が 2/diamF(Ω) で下から有界であることを確立している。Wulff形状が固定測度のもとでこの固有値を最大化することを示すSzegö-Weinberger型の不等式を証明し、凸領域において最初の∞-固有関数が内部にノードラインをもたず、極値を境界上でのみとることを示している。

ABSTRACT

We analize the limit problem of the anisotropic $p$-Laplacian as $p ightarrow\infty$ with the mean of the viscosity solution. We also prove some geometric properties of eigenvalues and eigenfunctions. In particular, we show the validity of a Szeg\"o-Weinberger type inequality.

研究の動機と目的

• 異方的p-ラプラシアン固有値問題がp → ∞ に近づく際の漸近的挙動を分析すること。
• 極限における最初の非自明固有値 Λ∞(Ω) を特徴づけ、その幾何的下界を確立すること。
• 凸領域における最初の∞-固有値に関するSzegö-Weinberger型不等式を証明すること。
• ∞-固有関数の幾何的性質、特に極値の位置と内部に閉じたノードラインがないことの調査。

提案手法

• p → ∞ の極限問題を解析するために、粘性解理論を用いる。
• ∞-ラプラシアンの振る舞いを支配する極限作用素 Q∞u = F²(∇u)(∇²u ∇ξF(∇u)) · ∇ξF(∇u) を定義する。
• 凸かつ1-斉次なノルム F(ξ) を用いてFinsler計量の概念を適用し、双対ノルム Fo(ξ) を導入する。
• 極値的な幾何的性質を特徴づけるために、異方的内接半径 iF(Ω) と直径 diamF(Ω) を導入する。
• 近似法と比較原理を用いて、ノイマンおよびディリクレ固有値を関連付ける。
• 対称化と再配分技術を用いて、Szegö-Weinberger不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p → ∞ の極限において、異方的p-ラプラシアンの最初の非自明ノイマン固有値はどのように振る舞うか？
• RQ2 測度が固定された場合に、Wulff形状が最初の∞-固有値を最大化するのか、Szegö-Weinberger不等式と同様の性質を示すか？
• RQ3 凸領域において、最初のノイマン∞-固有関数が最大値または最小値を境界上でのみとるのか？
• RQ4 凸領域における最初の非自明∞-固有関数に対して、領域内に閉じたノードラインが存在するか？
• RQ5 最初の非自明ノイマン∞-固有値は、最初のディリクレ∞-固有値と比べてどうなるか？

主な発見

• 最初の非自明ノイマン固有値 Λ∞(Ω) は、Λ∞(Ω) ≥ 2/diamF(Ω) を満たし、等号が成り立つのは Ω がWulff形状である場合に限る。
• 測度が等しいすべての集合の中で、Wulff形状 Ω# が Λ∞(Ω) を最大化する。これにより、Szegö-Weinberger型の不等式が証明される。
• 最初の非自明ノイマン∞-固有値は、最初のディリクレ∞-固有値を超えることはなく、Λ∞(Ω) ≤ λ∞(Ω) が成り立ち、等号が成り立つのは Ω がWulff形状である場合に限る。
• 最初の∞-固有関数に対して、領域内に閉じたノードラインは存在しえない。関数が他の場所では非ゼロであっても、正の測度の内部集合でゼロになることはできない。
• 最初の∞-固有関数の最大値および最小値は、境界 ∂Ω 上でのみ達成され、それらに到達する点は最大の異方的距離にある。
• 極値は、Fo(x − x̄) = diamF(Ω) を満たす点 x および x̄ において達成され、境界点の幾何的極値性が裏付けられる。