[論文レビュー] The annihilating-submodule graph of modules over commutative rings

H. Ansari-Toroghy, Shokoufeh Habibi|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可換環上の加群に対して、消滅部分加群グラフ $AG(M)$ を導入し、その解析を試みる。これは、グラフが完全またはスターダムであるとき、およびその彩色数とクライク構造を特徴づける。主な貢献は、$M$ が忠実で $\operatorname{rad}_M(0) = (0)$ を満たすとき、彩色数 $\chi(AG(M)^*)$ が有限であるための必要十分条件が、$R$ が有限個の最小素イデアルを持つことであることを示したことである。この場合、$\chi(AG(M)^*) = \operatorname{cl}(AG(M)^*) = k$ が成り立ち、$k$ は $R$ の最小素イデアルの個数を表す。

ABSTRACT

Let M be a module over a commutative ring R. In this paper, we continue our study of annihilating-submodule graph AG(M) which was introduced in (The Zariski topology-graph of modules over commutative rings, Comm. Algebra., 42 (2014), 3283{3296). AG(M) is a (undirected) graph in which a nonzero submodule N of M is a vertex if and only if there exists a nonzero proper submodule K of M such that NK = (0), where NK, the product of N and K, is defined by (N : M)(K : M)M and two distinct vertices N and K are adjacent if and only if NK = (0). We obtain useful characterizations for those modules M for which either AG(M) is a complete (or star) graph or every vertex of AG(M) is a prime (or maximal) submodule of M. Moreover, we study coloring of annihilating-submodule graphs.

研究の動機と目的

• 加群 $M$ を特徴づけること、その際 $AG(M)$ が完全グラフまたはスターダムである。
• すべての頂点が $AG(M)$ の中で素部分加群または極大部分加群である条件を調べること。
• $AG(M)^*$ の彩色数とクライク構造を調査すること、特に有限性条件の下での性質を明らかにすること。
• 特定の加群において、彩色数、クライク数、$R$ の最小素イデアルの個数の間の同値関係を確立すること。

提案手法

• 非零かつ真部分加群 $N$ を頂点とし、ある非零かつ真部分加群 $K$ に対して $NK = (0)$ を満たすものとして、消滅部分加群グラフ $AG(M)$ を定義する。隣接関係は $NL = (0)$ のときを満たす。
• 積 $NK = (N:M)(K:M)M$ を用いて隣接関係を定義し、イデアルの消滅グラフを加群へ一般化する。
• $AG(M)^*$ を $M$ および $\operatorname{Ann}(M)$ を annihilator とする部分加群を除いた部分グラフとして定義する。
• グラフ論的道具を用いる：彩色数 $\chi(G)$、クライク数 $\operatorname{cl}(G)$、および二部グラフや完全グラフの性質。
• 加群論的道具を用いる：素部分加群および極大部分加群、根基 $\operatorname{rad}_M(N)$、および根基が自明な忠実加群。
• 環論的結果を活用する：根無し環における最小素イデアルの有限性および $AG(R)$ との関連。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消滅部分加群グラフ $AG(M)$ が完全グラフまたはスターダムであるのはいつか？
• RQ2 すべての頂点が $AG(M)$ の中で素部分加群または極大部分加群である条件は何か？
• RQ3 $\chi(AG(M)^*)$ が有限であるのはいつか？
• RQ4 $\chi(AG(M)^*)$、$\operatorname{cl}(AG(M)^*)$、および $R$ の最小素イデアルの個数との関係は何か？
• RQ5 $AG(M)^*$ に無限大クライクがないのはいつか？

主な発見

• 忠実な $R$-加群 $M$ で $\operatorname{rad}_M(0) = (0)$ を満たすとき、$\chi(AG(M)^*)$ が有限であるための必要十分条件は、$R$ が有限個の最小素イデアルを持つことである。
• 同じ設定のもとで、$\chi(AG(M)^*) = \operatorname{cl}(AG(M)^*) = k$ が成り立ち、$k$ は $R$ の最小素イデアルの個数を表す。
• $AG(M)^*$ に無限大クライクがないならば、$R$ は有限個の最小素イデアルを持つ。
• 半素加群 $M$ に対して、$\chi(AG(M)^*)$ が有限であることは、$\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ が有限であることと同値であり、$AG(M)^*$ に無限大クライクがないこととも同値である。
• $M$ がネーター的で、すべての $N \in \Upsilon = \{N \in V(AG(M)^*) \mid N^2 = (0)\}$ が $\Upsilon$ 内で有限個の部分加群を持つならば、特定の annihilator の和に関する条件の下で $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ は有限である。
• $M$ がネーター的で、各 $N \in \Upsilon$ に対して $\{K < M \mid (N:M)M = (K:M)M\}$ が有限個であるという $\Upsilon$ の条件を満たすとき、$\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ は有限である。