[論文レビュー] The approach to equilibrium in a macroscopic quantum system for a typical nonequilibrium subspace

Sheldon Goldstein, Takashi Hara+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、巨視的量子系において、典型的な非平衡部分空間が、ランダム部分空間の統計的性質とランダム射影行列のハダマード積のおかげで、ボルツマン時間 $\tau_{\mathrm{B}} = h/(k_{\mathrm{B}}T)$ のオーダーで迅速に熱平衡に達することを証明している。主な結果は、速やかな等化が一般的であるということであり、これは自然に観察される緩やかな緩和が、この抽象的枠組みにおいては典型ではないということを示唆している。

ABSTRACT

We study the problem of the approach to equilibrium in a macroscopic quantum system in an abstract setting. We prove that, for a typical choice of "nonequilibrium subspace", any initial state (from the energy shell) thermalizes, and in fact does so very quickly, on the order of the Boltzmann time $\ au__\\mathrm{B}:=h/(k_\\mathrm{B}T)$. This apparently unrealistic, but mathematically rigorous, conclusion has the important physical implication that the moderately slow decay observed in reality is not typical in the present setting. The fact that macroscopic systems approach thermal equilibrium may seem puzzling, for example, because it may seem to conflict with the time-reversibility of the microscopic dynamics. According the present result, what needs to be explained is, not that macroscopic systems approach equilibrium, but that they do so slowly. Mathematically our result is based on an interesting property of the maximum eigenvalue of the Hadamard product of a positive semi-definite matrix and a random projection matrix. The recent exact formula by Collins for the integral with respect to the Haar measure of the unitary group plays an essential role in our proof.

研究の動機と目的

• 一般条件下における孤立巨視的量子系の熱平衡化の時間スケールを理解すること。
• 量子力学的時間反転対称性にもかかわらず、巨視的系が通常は緩やかに平衡に近づくのはなぜかを調査すること。
• 量子統計力学の抽象的枠組みにおいて、緩やかな緩和が典型的なものであるのか、それとも例外的であるのかを特定すること。
• 非平衡部分空間の選択が等化時間に与える影響を分析すること。
• ランダム行列理論と群積分を用いて、典型的な非平衡部分空間に対して速やかな熱平衡化が一般に成立することを確立すること。

提案手法

• 時間発展状態をエネルギー殻 $\mathcal{H}$ 内の $d$ 次元非平衡部分空間 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ に射影する際の減衰として、平衡への到達を定式化する。
• 典型的な部分空間の統計的挙動をモデル化するため、正定値行列とランダム射影行列のハダマード積を用いる。
• コリンズが得たユニタリ群上の積分に対する正確な公式（ハア測度に関する）を用いて、行列ノルムの期待値を計算する。
• 対称群理論からの組合せ的道具（サイクル分解や置換恒等式）を用いて、行列積分を評価する。
• ランダム部分空間のスペクトル的性質を用いて、時間平均における $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ への射影の期待値の明確な漸近的推定値を導出する。
• 典型的な部分空間に対して、緩和時間が $\tau_{\mathrm{B}} = h/(k_{\mathrm{B}}T)$ で上から抑えられることを確立する。これは系のサイズや $d$ に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現実の巨視的系で観察される緩やかな平衡への到達は、抽象的量子力学的枠組みにおいて典型的なものか？
• RQ2 初期状態が一般な非平衡部分空間にある場合、熱平衡化の典型的な時間スケールは何か？
• RQ3 非平衡部分空間の選択が、巨視的量子系における緩和ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ4 一部のモデルで観察される迅速な等化は、一般に成立する部分空間の性質として説明可能か？
• RQ5 ランダム行列の性質と対称群の積分が、等化時間の決定に果たす役割は何か？

主な発見

• 典型的な $d$ 次元非平衡部分空間 $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ の選択に対して、エネルギー殻 $\mathcal{H}$ 内の任意の初期状態は、ボルツマン時間 $\tau_{\mathrm{B}} = h/(k_{\mathrm{B}}T)$ のオーダーで迅速に熱平衡に達する。
• 典型的な部分空間に対して、緩和時間は $\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ の次元 $d$ や $\mathcal{H}$ の全次元 $D$ に依存せずに、$\tau_{\mathrm{B}}$ で上から抑えられる。
• この結果は、自然界で観察される緩やかな等化は、この抽象的枠組みにおいては典型ではないが、$\mathcal{H}_{\mathrm{neq}}$ の特別な構造に起因する例外的現象であることを示唆している。
• 証明は、ユニタリ群積分に対するコリンズの公式の新規な応用と、対称群 $\mathfrak{S}_n$ に関する組合せ的恒等式に依拠している。
• 正定値行列とランダム射影行列のハダマード積の最大固有値が急速に減少することを示し、これが迅速な熱平衡化の背後にある要因である。
• 期待値 $\langle \varphi(t), \hat{P}_{\mathrm{neq}} \varphi(t) \rangle$ がボルツマン時間のオーダーで無視できるほど小さくなることが示され、等化が成立していることが裏付けられている。