[論文レビュー] The Approximation Ratio of the $k$-Opt Heuristic for the Euclidean Traveling Salesman Problem

Ulrich A. Brodowsky, Stefan Hougardy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2021

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定数 $k \geq 2$ に対して、ユークリッドTSPにおける $k$-Optヒューリスティクスの近似比を $\Theta(\log n / \log\log n)$ として確立し、長年の未解決問題を解決した。$k \geq 3$ に対しては非自明な下界を初めて得られ、$k=2$ の場合の上界も改善された。結果は $1 \leq p < \infty$ のすべての $p$-ノルムに対して成り立ち、平面性の議論と2-optimal巡回路の幾何的解析を用いている。

ABSTRACT

The $k$-Opt heuristic is a simple improvement heuristic for the Traveling Salesman Problem. It starts with an arbitrary tour and then repeatedly replaces $k$ edges of the tour by $k$ other edges, as long as this yields a shorter tour. We will prove that for 2-dimensional Euclidean Traveling Salesman Problems with $n$ cities the approximation ratio of the $k$-Opt heuristic is $Θ(\log n / \log \log n)$. This improves the upper bound of $O(\log n)$ given by Chandra, Karloff, and Tovey in 1999 and provides for the first time a non-trivial lower bound for the case $k\ge 3$. Our results not only hold for the Euclidean norm but extend to arbitrary $p$-norms with $1 \le p &lt; \infty$.

研究の動機と目的

• ユークリッドTSPにおける $k$-Optヒューリスティクスの近似比の理解のギャップを埋めること、特に $k \geq 3$ の場合、以前は非自明な下界が得られていなかったこと。
• 2-Optヒューリスティクスの上界を $O(\log n)$ から $O(\log n / \log\log n)$ に改善し、既知の下界と一致させること。
• 近似比の結果を、ユークリッドノルムに限らず、$1 \leq p < \infty$ のすべての $p$-ノルムに拡張すること。
• $k \geq 2$ の $k$-Optヒューリスティクスが常に2-optimalな解を返すことを証明し、$k$-Optの解析に2-Optの境界を適用可能にする。

提案手法

• 平面性と幾何的性質を活用して、交差のない2-optimal巡回路のケースに2-optの近似比を還元する。
• 平面に埋め込まれた3次元グリッド構造を用いて、$n$ 個の点からなるユークリッドTSPのインスタンスを構築し、最適巡回路が任意の2-optimal巡回路よりも著しく短くなるようにする。
• 平面グラフ理論と辺素パス分解を用いて、2-optimal巡回路における交差する辺の数を上界で制御する。
• 軸に平行な長方形と辺の方向に基づく幾何的議論を用いて、$L^1$-ノルムの場合の処理を行う。この場合、最適巡回路に交差が生じる可能性があるため。
• $L^1$-ノルムにおいて、2-optimal巡回路が非軸に平行な交差する辺を含むことはできないことを証明し、3つの非交差辺集合への分解を可能にする。
• 平面性の保持と幾何的不等式の性質を用いて、$p > 1$ の任意の $p$-ノルムに対し、下界構築を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 3$ の場合、非自明な下界が得られていなかったことから、ユークリッドTSPにおける $k$-Optヒューリスティクスの正確な近似比は何か？
• RQ2 2-Optヒューリスティクスの上界 $O(\log n)$ を改善できるか？ もしそうなら、タイトな漸近的値は何か？
• RQ3 ユークリッドノルムではなく $p$-ノルムを用いた場合、$k$-Optヒューリスティクスの近似比は依然として $\Theta(\log n / \log\log n)$ に保たれるか？
• RQ4 $L^1$-ノルムにおいて、2-optimal巡回路の交差は近似比にどのように影響するか？ そして、漸近的境界を失うことなく処理できるか？

主な発見

• 定数 $k \geq 2$ に対して、$n$ 都市のユークリッドTSPにおける $k$-Optヒューリスティクスの近似比は $\Theta(\log n / \log\log n)$ である。これは長年の未解決問題を解決した。
• 2-Optヒューリスティクスの上界が $O(\log n)$ から $O(\log n / \log\log n)$ に改善され、以前に知られていた下界と一致した。
• $k \geq 3$ の場合、非自明な下界 $\Omega(\log n / \log\log n)$ が初めて確立された。これは以前は未知であった。
• 結果は $1 \leq p < \infty$ のすべての $p$-ノルムに拡張され、$L^1$-ノルムの場合には特別な議論が用いられた。
• $L^1$-ノルムにおいて、2-optimal巡回路が非軸に平行な交差する辺を含まないことが示され、3つの非交差辺集合への分解が可能になった。
• 任意の $p$-ノルム $1 \leq p < \infty$ に対して、$k$-Optの最終的な近似比は $\Theta(\log n / \log\log n)$ であり、$L^1$-ノルムでは最大3倍の損失係数が生じる。