[論文レビュー] The Arason invariant of orthogonal involutions of degree 12 and 8, and quaternionic subgroups of the Brauer group

Anne Quéguiner-Mathieu, Jean-Pierre Tignol|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、12次および8次中心単純代数の正規直交的対合に対して、Arason不変量 $ e_3(\sigma) $ を、$ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 内の位数2の類に引き上げるかどうかを測る、新たな不変量 $ f_3(\sigma) $ を導入する。主な貢献は、12次代数の対合に関して、三つの判別式が自明な4次代数への分解を構成し、Arason不変量とPeyreの複体のホモロジーを結びつけることである。この分解により、代数が二次拡大で分裂し、かつ対合が双曲的になるとき、Arason不変量が消えることが示される。

ABSTRACT

Using the Rost invariant for torsors under Spin groups one may define an analogue of the Arason invariant for certain hermitian forms and orthogonal involutions. We calculate this invariant explicitly in various cases, and use it to associate to every orthogonal involution with trivial discriminant and trivial Clifford invariant over a central simple algebra of even co-index a cohomology class $f_3$ of degree 3 with $μ_2$ coefficients. This invariant $f_3$ is the double of any representative of the Arason invariant; it vanishes when the algebra has degree at most 10, and also when there is a quadratic extension of the center that simultaneously splits the algebra and makes the involution hyperbolic. The paper provides a detailed study of both invariants, with particular attention to the degree 12 case, and to the relation with the existence of a quadratic splitting field.

研究の動機と目的

• Arason不変量 $ e_3(\sigma) $ が $ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 内の位数2の類に引き上げられるかどうかを測る、精緻化された不変量 $ f_3(\sigma) $ を定義し、その性質を調べること。
• 特に判別式とクラッパー不変量が自明な場合に、12次および8次中心単純代数の正規直交的対合へArason不変量を拡張すること。
• 12次代数の対合が三つの判別式が自明な4次代数の対合に分解できることを確立し、二次形式のPfisterの分解を一般化すること。
• 部分群 $ U $ がクォaternion代数によって生成される、3次ガロアコホノロジー群のペアリー複体に関連するホモロジーとArason不変量を結びつけること。
• すべての代数のインデックスが2以下であるような三重組（trialitarian triples）に対して、Arason不変量の定義を拡張すること。

提案手法

• Spin群のRost不変量を用いて、判別式とクラッパー不変量が自明な正規直交的対合に対して、絶対的Arason不変量 $ e_3(\sigma) $ を定義する。
• 任意の $ e_3(\sigma) $ の代表元の2倍として、$ H^3(F, \mu_2) $ 内の新たな不変量 $ f_3(\sigma) $ を定義し、これは $ e_3(\sigma) $ が位数2の類によって表されるときにかつそのときにのみ消える。
• 文献[17]の開軌道の議論を用いて、判別式が自明でかつ正規直交的対合をもつ12次代数 $ (A,\sigma) $ に対して、三つの判別式が自明な4次代数への加法的分解を確立する。
• 各々の分解に対して、高々3つのクォaternion代数によって生成される $ \mathrm{Br}(F) $ の部分群 $ U \subset \mathrm{Br}(F) $ を関連付け、$ e_3(\sigma) $ をペアリー複体 $ F^\times \cdot U \to H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) \to H^3(F_U, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ のホモロジーと関連付ける。
• $ f_3(\sigma) = f_3(W) $ が任意の分解群 $ W $ に対して成り立ち、かつ $ \overline{e_3(\sigma)}^W $ がペアリー複体のホモロジー群 $ \mathcal{H}_W $ を生成することを証明する。
• クラッパー代数の偶数部と奇数部に作用する標準的対合 $ \sigma^+ $ と $ \sigma^- $ を用いて、$ e_3(\sigma) = e_3(\sigma^+) = e_3(\sigma^-) $ および $ f_3(\sigma) = f_3(\sigma^+) = f_3(\sigma^-) $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心単純代数 $ A $ の正規直交的対合 $ \sigma $ のArason不変量 $ e_3(\sigma) $ は、いつ $ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 内の位数2のコホモロジー類に引き上げられるか？
• RQ2 判別式とクラッパー不変量が自明な場合に、12次および8次代数の正規直交的対合へArason不変量を意味的に拡張できるか？
• RQ3 12次代数の対合が三つの判別式が自明な4次代数に分解されるとき、そのクラッパー成分が生成するブラウアー群の部分群 $ U $ の構造はいかなるものか？
• RQ4 分解群 $ U $ に関連するペアリー複体のホモロジーとArason不変量 $ e_3(\sigma) $ はどのように関係するか？
• RQ5 $ f_3(\sigma) $ が消える条件は何か？ また、これは $ (A,\sigma) $ が二次拡大で分裂する条件とどのように関係するか？

主な発見

• $ f_3(\sigma) $ は、Arason不変量 $ e_3(\sigma) $ が $ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 内の位数2の類によって表されるときにかつそのときにのみ消え、$ \deg A \leq 10 $ のときや、$ A $ が二次拡大で分裂し、かつ $ \sigma $ が双曲的になるときも消える。
• 判別式とクラッパー不変量が自明な12次代数の正規直交的対合に対しては、三つの判別式が自明な4次代数への非一意的分解が存在し、これは二次形式のPfisterの分解を一般化する。
• 和成分のクラッパー成分が生成する部分群 $ U \subset \mathrm{Br}(F) $ において、すべての元がクォaternion代数によって表され、$ e_3(\sigma) $ が関連する $ U $ に対するペアリー複体のホモロジーを生成する。
• Arason不変量は $ e_3(\sigma) = e_3(\sigma^+) = e_3(\sigma^-) $ を満たし、同様に $ f_3(\sigma) = f_3(\sigma^+) = f_3(\sigma^-) $ が成り立つ。ここで $ \sigma^+ $ と $ \sigma^- $ はクラッパー代数の偶数部および奇数部に作用する標準的対合である。
• $ f_3(\sigma) $ は任意の分解群 $ W $ に対して $ f_3(W) $ に等しく、かつ $ \overline{e_3(\sigma)}^W $ は関連する $ W $ に対するペアリー複体のホモロジー群 $ \mathcal{H}_W $ を生成する。
• 本稿では、12次代数の事例に基づき、すべての三つの代数のインデックスが2以下であるような三重組（trialitarian triples）に対し、Arason不変量の定義を拡張する。