[論文レビュー] The Area Metric Reality Constraint in Classical General Relativity

Suresh K Maran|ArXiv.org|Apr 20, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、面密度計量の現実性制約を導入することで、スピンフォーム模型における現実性条件の古典的基盤を確立する。この制約により、複素一般相対性理論から実一般相対性理論が選別される。複素作用にラグランジュ乗数を導入することでこの制約を課すことにより、すべての符号について古典的実重力理論が得られ、実作用の非自明な解の半分と、複素作用のすべての解が実一般相対性理論に対応することが示された。

ABSTRACT

A classical foundation for an idea of reality condition in the context of spin foams (Barrett-Crane models) is developed. I extract classical real general relativity (all signatures) from complex general relativity by imposing the area metric reality constraint; the area metric is real iff a non-degenerate metric is real or imaginary. First I review the Plebanski theory of complex general relativity starting from a complex vectorial action. Then I modify the theory by adding a Lagrange multiplier to impose the area metric reality condition and derive classical real general relativity. I investigate two types of action: Complex and Real. All the non-trivial solutions of the field equations of the theory with the complex action correspond to real general relativity. Half the non-trivial solutions of the field equations of the theory with the real action correspond to real general relativity. Discretization of the area metric reality constraint in the context of Barrett-Crane theory is discussed. In the context of Barrett-Crane theory the area metric reality condition is equivalent to the condition that the scalar products of the bivectors associated to the triangles of a four simplex be real. The Plebanski formalism for the degenerate case and Palatini formalism are also briefly discussed by including the area metric reality condition.

研究の動機と目的

• スピンフォーム模型（バーレット＝クライン理論など）で用いられる現実性条件の古典的類似を構築すること。
• 面密度計量の現実性制約が、複素一般相対性理論から実一般相対性理論を選び出す主要なメカニズムであることを特定すること。
• この制約がスピンフォームの文脈において、面積固有値の二乗が実数であることを保証することを示すこと。
• 一つの古典的制約を用いて、すべての符号（ユークリッド型、ローレンツ型など）における実重力の記述を統一すること。
• プレバンスキー形式、面密度計量、バーレット＝クライン模型を結びつける幾何学的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 複素一般相対性理論のプレバンスキー形式に、複素ベクトル作用を用いる。
• 面密度計量の現実性制約（面密度計量が実数であること）を満たすためにラグランジュ乗数を導入する。
• 複素作用と実作用の二種類の作用を導出し、複素作用は実一般相対性理論の解のみを生成することを示す。
• リーマンテンソルのスピノル的分解を用い、$\Pi$ および $\Delta$ トレースを用いてウェイルテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率成分を特定する。
• 面密度計量を、双ベクトルから構成される対称的かつトレースレスなテンソルとして定義し、実数性を条件 $\text{Im}(\chi^2 - 1) = 0$ で強制する。
• バーレット＝クライン理論における離散的状況を分析し、面密度計量の現実性条件が4単体上での双ベクトルの実数スカラー積に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素一般相対性理論から実一般相対性理論を選び出す古典的現実性条件をどのように定式化できるか？
• RQ2 面密度計量がスピンフォーム模型における面積演算子の二乗の現実性をどのように符号化するか？
• RQ3 面密度計量の現実性制約は、バーレット＝クライン模型における単純性制約とどのように関係するか？
• RQ4 現実性条件がリーマン曲率テンソルの構造およびそのスピノル的分解に与える影響は何か？
• RQ5 4単体スピンフォームの文脈において、離散化の下でこの制約はどのように振る舞うか？

主な発見

• 複素作用から導かれる場の運動方程式のすべての非自明な解が、実一般相対性理論に対応する。
• 実作用から導かれる場の運動方程式の非自明な解の半分が実一般相対性理論に対応しており、部分的な選別メカニズムであることが示された。
• 面密度計量が実数であることは、その背後にある計量が実数または純虚数であることにのみ依存し、計量の実数性と面密度計量の実数性の直接的な関係を確立する。
• 離散的状況では、面密度計量の現実性条件は、4単体上での双ベクトルのスカラー積が実数であることと等価である。
• リーマンテンソルのスピノル的分解により、捩れのない接続に対して、擬スカラー曲率 $\mathcal{S} = \text{Tr}(\Pi D T)$ が消えることが判明し、標準的一般相対性理論と整合していることが確認された。
• 双対化された曲率 $\underline{R} = \Pi R$ は、自己双対部と反自己双対部の役割を入れ替えるため、$\Pi$ 演算子が現実性条件を定義する上で重要であることが浮き彫りになった。