[論文レビュー] The arrow of time and the Weyl group: all supergravity billiards are integrable

Pietro Fré, A. S. Sorin|ArXiv.org|Oct 4, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、非コンpaktoな対称空間 U/H 上の超対称重力の次元3への compactification から生じるすべての超対称重力ビリヤードが、その可解なリー代数を sl(N,ℝ) に特徴的な三角形埋め込みによって完全に可積分であることを確立している。主な結果は、Weyl群の長さ ℓ_T が増加する方向に一致する時間の矢印であり、これは宇宙的エントロピーとして機能し、漸近的宇宙論的状態の構造と Tits-Satake の普遍クラスを統一的に結びつけ、時間発展と群論的順序付けの間に深い関係を明らかにしている。

ABSTRACT

In this paper we show that all supergravity billiards corresponding to sigma-models on any U/H non compact-symmetric space and obtained by compactifying supergravity to D=3 are fully integrable. The key point in establishing the integration algorithm is provided by an upper triangular embedding of the solvable Lie algebra associated with U/H into SL(N,R) which always exists. In this context we establish a remarkable relation between the arrow of time and the properties of the Weyl group. The asymptotic states of the developing Universe are in one-to-one correspondence with the elements of the Weyl group which is a property of the Tits Satake universality classes and not of their single representatives. Furthermore the Weyl group admits a natural ordering in terms of L(T), the number of reflections with respect to the simple roots and the direction of time flows is always towards increasing L(T), which plays the unexpected role of an entropy.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな対称空間 U/H 上の次元3における超対称重力の compactification から生じるすべての超対称重力ビリヤードの完全可積分性を確立すること。
• Weyl群およびその一般化された版が、宇宙論的フローの漸近的構造を決定する役割を明確にすること。
• 宇宙ビリヤードにおける時間の矢印が、単純根に関する反射長 ℓ_T による Weyl群要素の自然な順序付けの結果であることを同定すること。
• 漸近的振る舞いと臨界面が、個々の代表元ではなく Tits-Satake の普遍クラスの性質であることを示すこと。
• 可解リー代数を sl(N,ℝ) に三角形埋め込みすることに基づく、Toda 型フローの一般化された統合アルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 非コンパクトな対称空間 U/H に対して、関連する可解リー代数を常に上三角行列に埋め込む方法を用いる。
• Toda 系に Lax 方程式形式を適用し、ビリヤード運動の明示的統合を可能にする。
• U/H の一般化された Weyl群を、Tits-Satake の部分代数 U_TS の Weyl群に同型な商群として導入する。
• パラメータ空間 H/W(U) を用いて臨界面および捕獲面を分類し、フローは Weyl群の構造によって制約される。
• 群要素の長さ ℓ_T（単純根に関する反射の数）を、単調増加する時間順序パラメータとして用いる。
• Lax 演算子の対角化に用いる直交行列の小行列が Toda フローと可換であるという予想を活用し、漸近的解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元3におけるすべての超対称重力ビリヤードが、一様な代数的手法によって完全に可積分であることを示せるか？
• RQ2 宇宙ビリヤードにおける時間の矢印は、Weyl群の組み合わせ論とどのように関係しているか？
• RQ3 一般化された Weyl群は、超対称重力ビリヤードの漸近的状態と臨界面を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ4 なぜ漸近的ダイナミクスとフロー構造が、特定の代表元ではなく Tits-Satake の普遍クラスにのみ依存するのか？
• RQ5 Toda フローの漸近的振る舞いは、Weyl群とコンパクト部分群 H のみから効率的に計算可能か？

主な発見

• 可解リー代数が sl(N,ℝ) に上三角行列として埋め込めるという事実により、次元3におけるすべての超対称重力ビリヤードは完全に可積分である。
• 宇宙の時間発展の方向は、Weyl群における反射数 ℓ_T が増加する方向に明確に定まり、これはエントロピー関数として機能する。
• 宇宙の漸近的状態は Weyl群の要素と一対一に対応し、この対応関係は Tits-Satake の普遍クラスに関して不変である。
• U/H の一般化された Weyl群は、Tits-Satake の部分代数 U_TS の Weyl群に同型であることが示され、深い構造的普遍性を示唆している。
• Toda フローの統合アルゴリズムは、W(U) の Weyl 群とコンパクト部分群 H のみに依存し、効率的な漸近的解析を可能にする。
• Lax 演算子の対角化に用いる直交行列の小行列が Toda フローと可換であるという予想は、明示的な例によって支持されており、漸近的振る舞いの計算に強力なツールを提供する。