[論文レビュー] The Ascoli property for function spaces and the weak topology of Banach and Fréchet spaces

Saak Gabriyelyan, Jerzy Ka̧kol+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間およびフレシェ空間の弱位相における、いくつかの位相的性質——アスリ、$k_{\mathbb{R}}$-空間、および逐次連続性——の同値性を確立している。バナッハ空間 $E$ が弱位相でアスリ単位球を持つのは、$E$ が $\ell_1$ の同型コピーを含まない場合に限ることを示している。さらに、$C_k(X)$ がアスリであるのは、$X$ が局所コンパクトである場合に限ることを証明しており、バナッハ空間の弱位相がアスリであるのは、その空間が有限次元である場合に限ることも示している。

ABSTRACT

Following [3] we say that a Tychonoff space $X$ is an Ascoli space if every compact subset $\mathcal{K}$ of $C_k(X)$ is evenly continuous; this notion is closely related to the classical Ascoli theorem. Every $k_\mathbb{R}$-space, hence any $k$-space, is Ascoli. Let $X$ be a metrizable space. We prove that the space $C_{k}(X)$ is Ascoli iff $C_{k}(X)$ is a $k_\mathbb{R}$-space iff $X$ is locally compact. Moreover, $C_{k}(X)$ endowed with the weak topology is Ascoli iff $X$ is countable and discrete. Using some basic concepts from probability theory and measure-theoretic properties of $\ell_1$, we show that the following assertions are equivalent for a Banach space $E$: (i) $E$ does not contain isomorphic copy of $\ell_1$, (ii) every real-valued sequentially continuous map on the unit ball $B_{w}$ with the weak topology is continuous, (iii) $B_{w}$ is a $k_\mathbb{R}$-space, (iv) $B_{w}$ is an Ascoli space. We prove also that a Fréchet lcs $F$ does not contain isomorphic copy of $\ell_1$ iff each closed and convex bounded subset of $F$ is Ascoli in the weak topology. However we show that a Banach space $E$ in the weak topology is Ascoli iff $E$ is finite-dimensional. We supplement the last result by showing that a Fréchet lcs $F$ which is a quojection is Ascoli in the weak topology iff either $F$ is finite dimensional or $F$ is isomorphic to the product $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$, where $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$.

研究の動機と目的

• Tychonoff空間 $X$ 上の連続実数値関数の空間 $C_k(X)$ がアスリである条件を同定すること。
• バナッハ空間 $E$ の単位球上の弱位相がアスリまたは $k_{\mathbb{R}}$-空間であるための条件を同定すること。
• バナッハおよびフレシェの局所凸空間において、アスリ性と $\ell_1$ の同型コピーの不在との関係を調査すること。
• アスリ性が閉部分空間に対して保存されるかを検討し、$C_k(X)$ や $C_p(X)$ がアスリであるための $X$ の構造的条件を同定すること。

提案手法

• 関数空間 $C_k(X)$ における均等連続なコンパクト集合の概念を用いて、アスリ空間を定義し、古典的なアスリの定理を一般化する。
• 測度論的および確率論的技法、特に $\ell_1$ 空間の性質を用いて、弱位相における逐次連続性を分析する。
• PytkeevおよびGerlits–Nagyの定理を用いて、$C_p$-空間におけるFréchet–Urysohn性と $k_{\mathbb{R}}$-空間性の関係を明らかにする。
• 自由局所凸空間および位相群に関する結果を活用し、代数的および関数空間設定におけるアスリ性を研究する。
• 非散乱コンパクト空間 $K$ から $[0,1]$ への連続な全射の存在を用いて、$C_p(K)$ 上に逐次連続だが不連続な関数を構成し、$k_{\mathbb{R}}$-空間構造ではないことを証明する。
• Lebesgueの支配収束定理を適用して、点に測度を割り当てない測度による積分によって定義される関数の逐次連続性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトライズ可能な空間 $X$ に対して、$C_k(X)$ がアスリであるのはどのような場合か？
• RQ2 バナッハ空間 $E$ の単位球上の弱位相がアスリであるのはどのような場合か？
• RQ3 バナッハ空間およびフレシェ空間において、アスリ性と $\ell_1$ の同型コピーの不在との関係は何か？
• RQ4 $k_{\mathbb{R}}$-空間の閉部分空間に対してアスリ性は保存されるか？
• RQ5 Tychonoff空間 $X$ に対して、$C_p(X)$ がアスリまたは $k_{\mathbb{R}}$-空間であるのはどのような場合か？

主な発見

• メトライズ可能な空間 $X$ に対して、$C_k(X)$ がアスリであるのは、$X$ が局所コンパクトである場合に限る。
• バナッハ空間 $E$ の単位球上の弱位相がアスリであるのは、$E$ が $\ell_1$ の同型コピーを含まない場合に限る。
• バナッハ空間 $E$ が弱位相でアスリであるのは、$E$ が有限次元である場合に限る。
• フレシェの局所凸空間 $F$ が弱位相でアスリであるのは、$F$ が有限次元であるか、または $\mathbb{K}^\mathbb{N}$ に同型である場合に限る（$\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$）。
• フレシェのlocally convex space $F$ の閉凸有界集合が弱位相でアスリであるのは、$F$ が $\ell_1$ の同型コピーを含まない場合に限る。
• $k_{\mathbb{R}}$-空間の可算な閉非アスリ部分空間が存在し、アスリ性が閉部分空間に対して保存されないことを示している。