[論文レビュー] The associated family of an elliptic surface and applications to minimal submanifolds

Marcos Dajczer, Theodoros Vlachos|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲率楕円が特定の次数で円であるより広いクラスの楕円的表面へ、ユークリッド空間内の極小表面の古典的関連族を一般化する。このような表面が一パラメータの等長極小変形族を有することを確立し、極小表面の既知の結果を拡張するとともに、ランク2の高次元極小部分多様体の関連族が、曲率楕円が円である基礎となる楕円的表面の関連族によって決定されることを示す。

ABSTRACT

It is well-known that in any codimension a simply connected Euclidean minimal surface has an associated one-parameter family of minimal isometric deformations. In this paper, we show that this is just a special case of the associated family to any simply connected elliptic surface for which all curvature ellipses of a certain order are circles. We also provide the conditions under which this associated family is trivial, extending the known result for minimal surfaces. As an application, we show how the associated family of a minimal Euclidean submanifold of rank two is determined by the associated family of an elliptic surface clarifying the geometry around the associated family of these higher dimensional submanifolds.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間内の極小表面の古典的関連族を、特定の次数の曲率楕円が円であるより広いクラスの楕円的表面へ拡張すること。
• この一般化された関連族が自明である条件を同定し、極小表面に対する既知の条件を一般化すること。
• ランク2の高次元極小部分多様体の関連族の幾何的構造を、基礎となる楕円的表面の関連族に結びつけることにより明確化すること。
• 曲率楕円が円である楕円的表面の極座標表面構成を用いて、ランク2の極小部分多様体の関連族のパラメータ表示を提供すること。

提案手法

• 第二基本形式を回転させながら法バンドルと法接続を保存することで得られる、一パラメータ族の等長極小埋め込みとして、楕円的表面の関連族を定義する。
• Burstin-Mayer-Allendoerfer理論を用いて、特定の高次元基本形式が関連族変換に対して不変であることを示す。
• 相対的零位相分布の直交補空間上に作用する回転作用素 $ R_{\theta} $ を用いて、関連族を構成し、第二基本形式の構造を保存する。
• [8] の極座標表面構成を活用し、曲率楕円が円である楕円的表面の法バンドルの部分バンドル上での直交和として、ランク2の極小部分多様体をパラメータ表示する。
• 断面の法成分にバンドル同相 $ \theta \mapsto \phi_{\theta} $ を適用することで、部分多様体の関連族を生成する。
• 線形楕円型偏微分方程式の解を用いた再帰的断面構成により、パラメータ表示が常に極小かつ等長のまま保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、楕円的表面が非自明な等長極小変形族を有するか？
• RQ2 ランク2の極小部分多様体の関連族は、その極座標表面の関連族とどのように関係するか？
• RQ3 ランク2の極小部分多様体の関連族が自明である条件は何か？
• RQ4 高次元極小部分多様体の関連族は、曲率楕円が円である基礎となる楕円的表面の関連族を通じて完全に記述可能か？
• RQ5 高次元基本形式は関連族の構造を保存する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 楕円的表面の関連族が存在し、非自明であるための必要十分条件は、固定された次数のすべての曲率楕円が円であることである。
• ランク2のユークリッド空間内極小部分多様体の関連族は、その極座標表面（特定の次数の曲率楕円が円である楕円的表面）の関連族によって完全に決定される。
• ランク2の極小部分多様体の関連族が自明であるのは、（局所的）双極表面（すなわち、その極座標表面の極座標表面）が $ m $-等方的であるときである。
• ランク2の極小部分多様体の関連族のパラメータ表示は、$ f_{\theta}(\delta) = h_{\theta}(x) + \phi_{\theta}\delta $ で与えられ、ここで $ h_{\theta} $ は回転された断面、$ \phi_{\theta} $ はバンドル同相である。
• 関連族部分多様体の第二基本形式は $ \alpha_{f_{\theta}}(X,Y) = \alpha_{f}(R_{-\theta}X,Y) $ を満たし、等長性と極小性が確認される。
• この構成は、断面を制御する関数 $ \omega $ を解く線形楕円型偏微分方程式の解法に依存しており、これにより得られる部分多様体が極小かつ等長であることが保証される。