[論文レビュー] The asymmetric sandwich theorem

Stephen Simons|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Functional Equations Stability Results被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Hahn–Banach定理の一般化として非対称サンドイッチ定理を導入し、弱い条件下での線形汎関数の存在を確立する。凸関数とその共役関数に対する新たな三変数、四変数、二変数双対性定理を導出し、有界性およびBaireカテゴリーの仮定を用いて、Fenchel双対性を局所凸でない距離化可能な空間へ拡張する。

ABSTRACT

We discuss the asymmetric sandwich theorem, a generalization of the Hahn-Banach theorem. As applications, we derive various results on the existence of linear functionals that include bivariate, trivariate and quadrivariate generalizations of the Fenchel duality theorem. Most of the results are about affine functions defined on convex subsets of vector spaces, rather than linear functions defined on vector spaces. We consider both results that use a simple boundedness hypothesis (as in Rockafellar's version of the Fenchel duality theorem) and also results that use Baire's theorem (as in the Robinson-Attouch-Brezis version of the Fenchel duality theorem). This paper also contains some new results about metrizable topological vector spaces that are not necessarily locally convex.

研究の動機と目的

• 凸結合空間とアフィン写像を用いて、Hahn–Banach定理を非対称設定へ一般化すること。
• 局所凸性を仮定しない無限次元空間における線形汎関数の存在定理を確立すること。
• 有界性またはBaireカテゴリーの条件の下で、凸共役関数に対する新たな多変数双対性結果（三変数、四変数、二変数）を導出すること。
• RockafellarおよびRobinson–Attouch–BrezisのFenchel双対性定理を、局所凸でない距離化可能な位相線形空間へ拡張すること。
• 双対性定理における内部性条件が自動的に満たされる条件を提示し、検証を簡略化すること。

提案手法

• ベクトル空間の凸部分集合上で定義されたアフィン関数に対するHahn–Banach定理の一般化として、非対称サンドイッチ定理（定理4）を導入する。
• CC空間（凸部分集合）における部分レベル集合定理（定理7）と共役関数理論を用いて、線形汎関数の存在を導出する。
• 二つのCC空間と一つの局所凸空間を含む技術的三変数存在結果（系9）を用い、定理10および定理13を導出する。
• Baireの定理を補題19および定理20で用い、距離化可能な空間において内部性条件（11）がより単純な位相的条件と同値であることを示す。
• アフィン写像の合成および凸関数の最小畳み込みを用いて、四変数（定理13）および二変数（系14）の定理を導出する。
• Fitzpatrick関数および強い表現可能性を用い、バナッハ空間およびFréchet空間に結果を適用する。この際、アフィン写像による定義域の像に関する条件を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所凸ベクトル空間上に定義された特定の凸集合を分離する線形汎関数が存在する条件は何か？
• RQ2 有界性またはBaireカテゴリーの仮定を用いて、Fenchel双対性を局所凸空間を超えてどのように拡張できるか？
• RQ3 多変数双対性定理における内部性条件の役割は何か？ また、いつ自動的に満たされるか？
• RQ4 非局所凸位相線形空間において、共役関数はアフィン写像との合成に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 無限次元設定において、凸関数の部分的最小畳み込みは、共役双対性を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• 非対称サンドイッチ定理（定理4）は、ベクトル空間の凸部分集合上での線形汎関数の存在に関する一般枠組みを提供する。
• 系9は、二つのCC空間と一つの局所凸空間を含む三変数存在定理を確立し、多変数双対性結果の導出を可能にする。
• 定理10は、Rockafellarの有界性に基づく双対性を一般化する新しいアフィンFenchel双対性定理（系11）を導くが、全域的下半連続性の要請を必要としない。
• 定理13は、二つのアフィン写像と四変数関数を用いて定義される凸関数の共役を計算するための四変数存在定理を提供する。
• 系14は、部分的最小畳み込みと共役双対性に関するSimonsの結果を拡張する二変数存在定理を導入する。
• 系27–30は、非反射的バナッハ空間における極大モノトーン多重関数に関する最近の結果を一般化し、特定のスケーリングされた定義域像の閉性の下で、共役公式が成り立つことを示す。