[論文レビュー] The asymptotic complexity of matrix reduction over finite fields

Demetres Christofides|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体上の行列削減のためのストライプ型消去法が漸近的に最適であることを確立し、$\ mathrm{GL}(n,q)$ に属するほとんどすべての行列が、単位行列に削減するのに少なくとも $\ frac{n^2}{\log_q n}$ 行基本変形を要することを証明している。この結果は、従来の下界を強化し、同算法の複雑さが定数倍の違いを除いてタイトであることを示しており、基本行列の標準積の組み合わせ的数え上げと、行列生成に関するエントロピーに基づく境界を用いている。

ABSTRACT

Consider an invertible n imes n matrix over some field. The Gauss-Jordan elimination reduces this matrix to the identity matrix using at most n^2 row operations and in general that many operations might be needed. In [1] the authors considered matrices in GL(n;q), the set of n imes n invertible matrices in the finite field of q elements, and provided an algorithm using only row operations which performs asymptotically better than the Gauss-Jordan elimination. More specifically their `striped elimination algorithm' has asymptotic complexity \frac{n^2}{\log_q{n}}. Furthermore they proved that up to a constant factor this algorithm is best possible as almost all matrices in GL(n;g) need asymptotically at least \frac{n^2}{2\log_q{n}} operations. In this short note we show that the `striped elimination algorithm' is asymptotically optimal by proving that almost all matrices in GL(n;q) need asymptotically at least frac{n^2}{\log_q{n}} operations.

研究の動機と目的

• ストライプ型消去法の上界と、有限体上での行列削減の複雑さに関する下界との差を埋める。
• ランダムに選ばれた $\mathrm{GL}(n,q)$ 内の行列を単位行列に削減するのに必要な行基本変形の数に対するより強い下界を確立する。
• 同算法の複雑さが定数倍の違いを除いてタイトであることを示し、漸近的に最適であることを証明する。
• $\mathrm{GL}(n,q)$ 内の基本行列の積の組み合わせ的構造の理解を精緻化する。

提案手法

• 本稿では、基本行列の積の標準形を用いて、高々 $k$ 個の行基本変形で生成可能な異なる行列の数を数える。
• スターリングの近似と対数の境界を適用し、非可換性や重複する行インデックスを考慮して、基本行列の積の異なる数を推定する。
• インデックス集合とスカラー選択の組み合わせ的数え上げを用いて、$k$ 回の操作で到達可能な $\mathrm{GL}(n,q)$ 内の異なる行列の数に対する上界を導出する。
• この上界を $\mathrm{GL}(n,q)$ の全サイズと比較し、不等式 $|\mathrm{GL}(n,q)| \geq q^{n^2 - \frac{1}{q-1}\log_q e}$ を用いて、$k$ の下界を導出する。
• 再配列不等式と対数の性質を用いて、異なる積の数を境界づけ、ブロック内での順序の重複による過剰数え上げの影響を示す。
• スカラー選択（行列ごに $q-1$ 個）、インデックス選択、ブロック構造を組み合わせて、$k$ 回の操作で到達可能な異なる行列の総上界 $q^{(k+2n)\log_q n + \cdots}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上での行列削減のためのストライプ型消去法は、漸近的に最適か？
• RQ2 ランダムに選ばれた $\mathrm{GL}(n,q)$ 内の行列を削減するのに必要な行基本変形の数について、$\frac{n^2}{2\log_q n}$ よりも強い下界を確立できるか？
• RQ3 有限体上での行列削減の真の漸近的複雑度は何か？ すなわち、ほとんどすべての行列に対して必要な最小の行基本変形回数は？
• RQ4 $\mathrm{GL}(n,q)$ 内で高々 $k$ 個の基本行列の積として生成可能な異なる行列の数はいくつで、それは $\mathrm{GL}(n,q)$ のサイズとどのように関係するか？

主な発見

• ストライプ型消去法は、$\mathrm{GL}(n,q)$ 内のほとんどすべての行列が単位行列に削減されるのに少なくとも $\frac{n^2}{\log_q n}$ 行基本変形を要することを示しており、漸近的に最適である。
• 本稿では、$\mathrm{GL}(n,q)$ 内の $\alpha$ 倍以上の行列を削減するのに必要な操作数の下界として、$\frac{n^2 - 2n\log_q n - n - n\log_q 2 - \frac{1}{q-1}\log_q e - \log_q \frac{1}{\alpha}}{\log_q n + \log_q (8qe)}$ を証明している。
• 高々 $k$ 回の行基本変形で到達可能な異なる行列の数は、上界 $q^{(k+2n)\log_q n + (3k+n)\log_q 2 + n + k + k\log_q e}$ で抑えられ、これは $k \geq \frac{n^2}{\log_q n}$ でなければ $|\mathrm{GL}(n,q)|$ よりも速く成長しない。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の $n \times n$ 正則行列の総数は、少なくとも $q^{n^2 - \frac{1}{q-1}\log_q e}$ 以上であり、群のサイズに対する強い下界を提供している。
• 解析により、同じ行列を表す異なる基本行列の積の数は、例えば互いに可換な操作の対称性（例：非重複行の交換）によって著しく減少することが示され、階乗および対数の境界を用いてその減少量が定量的に評価されている。
• 本結果により、ストライプ型消去法の複雑さ $\frac{n^2}{\log_q n}$ が定数倍の違いを除いて最適であることが確認され、有限体上での行列削減の漸近的複雑度が解明された。