[論文レビュー] The Asymptotic of the Holomorphic Analytic Torsion Forms

Martin Puchol|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2つの設定において正則解析 torsion 形式の漸近公式を確立する。第一に、ファイバーごとに正のラインバンドルの高次の冪をとるファイブレーションについてであり、第二に、より大きな多様体上のラインバンドル冪の直接像についてである。熱核法とトーベイツ作用素形式主義を用いて、明示的な誤差項を伴う滑らかな収束を導出し、Bismut と Vasserot の結果を、ファイバー次元が変化する場合にも一様な推定を保証するファミリー設定に一般化する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is first to give an asymptotic formula for the holomorphic analytic torsion forms of a fibration associated with increasing powers of a given line bundle. Secondly, we generalize this formula, thanks to the theory of Toeplitz operators, in the case where the powers of the line bundle is replaced by the direct image of powers of a line bundle on a bigger manifold. In both cases we have to make fiberwise positivity assumption on the line bundle. This results are the family versions of the results of Bimsut and Vasserot on the asymptotic of the holomorphic torsion.

研究の動機と目的

• Bismut と Vasserot の正則 torsion に関する漸近的結果を、ファミリー設定、すなわちファイブレーション上の解析 torsion 形式に拡張すること。
• ラインバンドル冪が、より大きな多様体上のラインバンドルの直接像に置き換えられる場合にも、漸近公式を一般化すること。
• 微分係数を含む、基底多様体に沿った導関数の制御を含む、torsion 形式の滑らかな収束を確立すること。
• ファイバー次元の増大と、スケーリングされた作用素における非コンパクト構造に起因する課題を、トーベイツ作用素技法を用いて克服すること。
• 基底が点でない場合でも適用可能な、解析 torsion 漸近のファミリー版を提供することにより、先行研究を超える新しい結果を得ること。

提案手法

• Bismut のスーパーコンnection形式主義に基づく熱核アプローチを採用し、垂直および水平の微分形式を併用する。
• Bismut スーパーコンnection を用いて解析 torsion 形式を定義し、水平形式に起因する冪等部分を考慮する。
• ファイバー次元の増大に対応する一様推定を処理するために、トーベイツ作用素理論を適用し、極限作用素を近似に置き換える。
• 熱核展開における係数の一様有界性を保証するために、行列の作用素ノルム推定を用いる。
• 基底点の近傍で局所座標を用いた計算を行い、スペクトル射影作用素とスケーリングを用いて主要項を分析する。
• 変化するファイバー空間における作用素の微分を一様推定で制御することで、$\mathscr{C}^\ell$-ノルムにおける収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラインバンドルがファイバーに沿って $p$ 乗に置き換えられ、かつファイバーごとに正であるとき、正則解析 torsion 形式の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 ラインバンドル冪が、より大きな多様体上のラインバンドルの直接像に置き換えられる場合、漸近公式はどのように拡張できるか？この場合、$G$-バンドル構造を仮定しない。
• RQ3 torsion 形式の極限への収束速度は何か？基底多様体に沿った微分係数の制御も含む。
• RQ4 ファイバー次元が $p$ とともに増大する場合、特に極限作用素が存在しない場合でも、一様推定をどのように維持できるか？
• RQ5 非コンパクトまたは増大するファイバー構造を伴う状況において、トーベイツ作用素形式主義を用いて、点ごとの収束を近似に置き換えることは可能か？

主な発見

• 正則解析 torsion 形式の漸近公式は、$p \to \infty$ のとき $\mathscr{C}^\ell$-ノルムで滑らかに収束し、誤差項は $O(p^{-1/(2n_X+1)})$ のオーダーである。
• 直接像の場合、基底が点であっても、本手法により Bismut と Vasserot の研究を対称冪を超えて一般化する新たな結果を得る。
• 収束は基底多様体全体にわたって一様であり、$\mathscr{C}\ell$-ノルム推定により微分係数の制御が可能である。
• トーベイツ作用素の使用により、ファイバー次元の増大にもかかわらず、熱核展開における係数の一様有界性を保証できる。
• 漸近展開の主要項は、スケーリングされた Bismut スーパーコンnection とスペクトル射影作用素を含むスーパートレースとして表現される。
• 誤差項は作用素ノルム推定により制御され、$p^{-1}$ およびスペクトルギャップの逆数に依存するため、滑らかな収束が保証される。