[論文レビュー] The asymptotic rank of metric spaces

Stefan Wenger|ArXiv.org|Jan 8, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次充填関数の成長率を用いて特徴づけられる、ユークリッド的ランクを一般化する幾何的不変量として、距離空間の漸近的ランクを導入する。主な結果は、次元kまででコーン型不等式を満たす完備距離空間に対して、漸近的ランクがk以下であれば、(k+1)番目の充填体積関数が非ユークリッド的成長を示し、これは非ユークリッド的等周不等式を意味する。

ABSTRACT

In this article we define and study a notion of asymptotic rank for metric spaces and show in our main theorem that for a large class of spaces, the asymptotic rank is characterized by the growth of the higher filling functions. For a proper, cocompact, simply-connected geodesic metric space of non-curvature in the sense of Alexandrov the asymptotic rank equals its Euclidean rank.

研究の動機と目的

• 一般の距離空間に対して、新たな幾何的不変量である漸近的ランクを定義し、その性質を研究すること。
• 非正曲率空間にとどまらず、一般の距離空間へとユークリッド的ランクの概念を一般化すること。
• 高次充填関数の漸近的挙動を用いて、漸近的ランクを特徴づけること。
• 制御された幾何構造をもつ完備距離空間における幾何的構造と等周成長の関係を確立すること。
• ハダール空間および非コンパクト型の対称空間における充填関数に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 距離空間の漸近的部分集合へのR^nの正の測度をもつコンパクト部分集合のリプシッツ同相埋め込みを用いて、漸近的ランクを定義する。
• k-チェーンおよびk-サイクルを積分的カレントを用いて形式化し、充填体積関数FV_{k+1}(r)の定義を可能にする。
• 長さ関数および歪み関数を伴う一般化されたコームビングとコーン型不等式を導入し、充填体積を制御する。
• メトリック微分および面積公式を用いて、リプシッツ縮小による充填カレントの質量を評価する。
• 一般化されたコームビングとメトリック微分技術を用いて、カレントの直径-体積不等式を確立する。
• 漸近的ランクが≤kであり、次元kまででコーン型不等式が成り立つならば、FV_{k+1}(r)の非ユークリッド的成長が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間のユークリッド的ランクは、非正曲率空間や一般の距離空間へどのように一般化できるか？
• RQ2 空間の漸近的ランクとその高次充填関数の成長率との間にどのような関係があるか？
• RQ3 どのような幾何的条件下で、距離空間がk-サイクルに対して非ユークリッド的等周不等式を満たすか？
• RQ4 漸近的コーンが特定の次元的性質をもつことと、漸近的ランクが同値に特徴づけられるか？
• RQ5 コーン型不等式は、非ユークリッド的充填体積成長をどの程度まで含意するか？

主な発見

• 非正曲率で、局所的にコンパクトで、単連結な測地的距離空間の漸近的ランクは、そのユークリッド的ランクに等しい。
• Q-有界チェーンをもつ一様なチェーン条件を満たす完備距離空間において、漸近的ランクがk以下であれば、(k+1)番目の充填体積関数はlimsup_{r→∞} FV_{k+1}(r)/r^{(k+1)/k} = 0 を満たす。
• すべてのm ≤ kに対してコーン型不等式を満たす空間は、k-サイクルに対し非ユークリッド的等周不等式も満たす。
• この結果は、ハダール空間および非コンパクト型の対称空間へも拡張可能であり、ランクを超える領域でより強い線形充填不等式が既知である。
• 多項式的長さ関数および歪み関数をもつ一般化されたコームビングは、タイプ(ν + kμ, 1)の直径-体積不等式を導き、ν=1かつμ=0のときコーン型不等式が得られる。
• 証明は、メトリック微分、面積公式、およびリプシッツ縮小のヤコビアンの評価による質量の制御に依存する。