[論文レビュー] The asymptotical behaviour of embedded eigenvalues for perturbed periodic operators

Wencai Liu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、摂動が $ O(1/x) $ または $ O(1/n) $ のように減衰する条件下で、摂動を加えた周期的シュレーディンガー作用素およびジャコビ作用素のスペクトル帯端に近接する埋め込まれた固有値の漸近的挙動を確立する。フロケ理論とプリューファー変数解析を用いて、逆スペクトル重み $ \Gamma(E_i)^{-1} $ の和に対する普遍的な上界を導出し、固有値が帯端に制御された密度で集積することを示す。

ABSTRACT

Let $H_0$ be a periodic operator on $\R^+$(or periodic Jacobi operator on $\N$). It is known that the absolutely continuous spectrum of $H_0$ is consisted of spectral bands $\cup[α_l,β_l]$. Under the assumption that $\limsup_{x o \infty} x|V(x)|

研究の動機と目的

• 摂動を加えた周期的シュレーディンガー作用素およびジャコビ作用素において、埋め込まれた固有値がスペクトル帯端に近づく際の漸近的分布を理解すること。
• $ \limsup x|V(x)| < \infty $ の下で、帯端付近の固有値に対する逆スペクトル重み $ \Gamma(E_i)^{-1} $ の和に対する鋭い上界を確立すること。
• $ V(x) = O(1/x) $ である臨界定常状態にまで、従来の固有値減衰結果を拡張すること。これは固有値存在の閾値に位置する。
• フロケ解とプリューファー変数に基づく共通の枠組みを通じて、連続的および離散的設定を統一すること。
• 同じ減衰条件の下で特異連続スペクトルの不在を示す基盤を提供すること。

提案手法

• 周期的作用素の解を、周期的関数と指数的／準周期的関数の積として表すためにフロケ理論を用いる。
• スペクトル重み関数 $ \Gamma(E) $ を導入し、フロケ解の $ L^4 $-ノルムとワロンスキー行列式を用いて定義する。この関数は帯端で発散する。
• 摂動下での解の位相の進化を分析するために、プリューファー変数変換を適用する。
• プリューファー方程式における三角関数項の $ \ell^2 $-減衰と振動的挙動を用いた和分推定により、固有値の集積を制御する。
• 判別式 $ D(E) $ を用いて $ 2\cos k(E) = D(E) $ という恒等式を用い、スペクトル位置と帯端挙動を関連づけ、$ |E - \alpha| $ や $ |E - \beta| $ の上界を導出する。
• $ \sum |\sin k(E_i)|^2 \leq K A^2 $ との比較により、普遍的な上界を導出し、$ \sum \min\{|E_i - \alpha|^{\kappa_\alpha}, |E_i - \beta|^{\kappa_\beta}\} \leq K A^2 $ の形の上界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動を加えた周期的作用素において、埋め込まれた固有値はスペクトル帯端に近づく際にどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 $ \limsup x|V(x)| = A < \infty $ の下で、帯端付近の固有値に対する逆スペクトル重み $ \Gamma(E_i)^{-1} $ の和の最良上界は何か？
• RQ3 臨界定常状態 $ V(x) = O(1/x) $ は、可算個の埋め込まれた固有値を支持できるか？また、それらはどれほど密に集積するか？
• RQ4 帯端の性質（崩壊しているか否か）は、固有値の集積速度にどのように影響するか？
• RQ5 準運動量 $ k(E) $ と判別式 $ D(E) $ は、漸近的固有値分布を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の標準的スペクトル帯 $[\alpha_l, \beta_l]$ に対して、埋め込まれた固有値の集合 $ P \cap (\alpha_l, \beta_l) $ は可算であり、$ \alpha_l $ および $ \beta_l $ を除いては集積が可能でない。
• $ (\alpha_l, \delta_l) $ または $ (\delta_l, \beta_l) $ 内の固有値における $ \Gamma(E_i)^{-1} $ の和は、$ A = \limsup x|V(x)| $ を用いて $ \frac{A^2}{2} $ で有界である。
• 非崩壊帯端 $ \alpha $ の近傍では、和 $ \sum_{E_i \in P \cap (\alpha, \beta)} |E_i - \alpha| \leq K A^2 $ が成り立ち、固有値間隔の線形減衰を示唆する。
• 崩壊帯端 $ \alpha $ の近傍では、和 $ \sum_{E_i \in P \cap (\alpha, \beta)} |E_i - \alpha|^2 \leq K A^2 $ が成り立ち、高次の帯端挙動に起因する2次減衰を示す。
• 自由シュレーディンガー作用素（$ V_0 = 0 $）の場合、和 $ \sum_{E_i \in P \cap (0, \infty)} E_i \leq \frac{A^2}{2} $ が成り立ち、固有値が無限遠点にあまりに密に集積できないことを示す。
• 自由ジャコビの場合（$ V_0 = 0 $）、和 $ \sum_{E_i \in P \cap (-2,2), E_i \neq 0} (4 - E_i^2) \leq 4A^2 $ が成り立ち、$ A < 1 $ ならば $ 0 \notin P $ である。これは、弱い減衰条件下でゼロに固有値がないことを示唆する。