[論文レビュー] The asymptotics of the generalised Bessel function

R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Electrostatics and Colloid Interactions参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化されたワイド・ファンクション ${}_p\Psi_q(z)$ の漸近理論を用いて、$|z|$ が大きい場合の一般化されたベッセル関数 ${}_0\Psi_1(z)$ の漸近的挙動を導出し、特に $a = -\frac{1}{2}$ および $-1 < a < 0$ の場合における指数的になすり小さなものとストークス現象に注目する。ワイドの初期の取り扱いを、ストークス不連続性を考慮することで是正し、$\arg z$ に応じた正確な領域展開を提供する。数値的検証により妥当性が裏付けられている。

ABSTRACT

We demonstrate how the asymptotics for large $|z|$ of the generalised Bessel function \[{}_0Ψ_1(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{Γ(an+b) n!},\] where $a&gt;-1$ and $b$ is any number (real or complex), may be obtained by exploiting the well-established asymptotic theory of the generalised Wright function ${}_pΨ_q(z)$. A summary of this theory is given and an algorithm for determining the coefficients in the associated exponential expansions is discussed in an appendix. We pay particular attention to the case $a=-1/2$, where the expansion for $z o\pm\infty$ consists of an exponentially small contribution that undergoes a Stokes phenomenon. We also examine the different nature of the asymptotic expansions as a function of $\arg\,z$ when $-1

研究の動機と目的

• 一般化されたワイド関数 ${}_p\Psi_q(z)$ のwell-establishedな漸近理論を用いて、一般化されたベッセル関数 ${}_0\Psi_1(z)$ の漸近展開を再表現すること。
• ストークス現象を組み込むことで、$a = -\frac{1}{2}$ の場合における指数的になすり小さなものに対するワイドの初期の取り扱いを是正すること。
• ${}_1\Psi_0(z)$ の漸近的挙動が変化する複素平面上の領域を、$\arg z = 0$ および $\arg z = \pm\pi(1+a)$ におけるストークス線に応じて精緻化すること。
• 付録に詳細記載されたように、${}_0\Psi_1(z)$ の指数的展開における係数を計算するための体系的なアルゴリズムを提供すること。
• 数値的計算により導出された展開の正確性を確認し、さまざまな漸近的領域で妥当性を検証すること。

提案手法

• ${}_0\Psi_1(z)$ の漸近的展開は、パrameter $\kappa = 1 + \sum \beta_r - \sum \alpha_r$ を用いて、一般化ワイド関数 ${}_p\Psi_q(z)$ を介して導出される。
• 形式的和 $E_{p,q}(z) = Z^\vartheta e^Z \sum A_j Z^{-j}$ を用いて、指数的および代数的展開が構築され、$Z = \kappa(hz)^{1/\kappa}$ であり、係数 $A_j$ は $g(s)/\Gamma(1+s)$ の逆階乗展開から得られる。
• $A_j$ の係数は、$c_j = C_j - \sum_{k=1}^{j-1} (-1)^k \binom{j-1}{k} c_{j-k} B_k^{(k-j+1)}(\vartheta')$ の関係式を用いて再帰的に計算され、$C_j$ は $g(s)/\Gamma(1+s)$ の展開から得られる。
• ストークス現象は、$\arg z = 0$ および $\arg z = \pm\pi(1+a)$ における線に跨いで漸近的展開に不連続性が生じることを特定することで分析される。特に $-1 < a < 0$ の場合に注目する。
• $a = -\frac{1}{2}$ の場合、指数的になすり小さなものについて、退化超幾何関数表現を用いて再評価され、ワイドの初期分析で見過ごされたストークス不連続性が確認される。
• 数値的検証として、特定のパrameter値に対して展開を計算し、Mathematica を用いて最大100係数まで計算された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ワイド関数理論を用いて、$|z|$ が大きい場合の ${}_0\Psi_1(z)$ の漸近的展開を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 なぜワイドの $a = -\frac{1}{2}$ の場合における指数的になすり小さなものに関する式が誤りであり、ストークス現象がその有効性に与える影響は何か？
• RQ3 ストークス線 $\arg z = 0$ および $\arg z = \pm\pi(1+a)$ に起因して、${}_1\Psi_0(z)$ の漸近的挙動が変化する複素平面上の正確な領域は何か？
• RQ4 $a > 0$ と $-1 < a < 0$ の場合に、${}_0\Psi_1(z)$ の漸近的展開の形と収束性はどのように異なるか？
• RQ5 付録に提示された係数アルゴリズムは、高次の項を信頼性高く計算できるか？その妥当性はどのように数値的に検証されるか？

主な発見

• ${}_0\Psi_1(z)$ の漸近的展開は、$a > 0$ と $-1 < a < 0$ に対して異なる形に分離され、後者では $\arg z = 0$ および $\arg z = \pm\pi(1+a)$ におけるストークス不連続性が顕在化する。
• $a = -\frac{1}{2}$ の場合、ストークス現象を考慮することで、指数的になすり小さなものに対する補正がなされ、ワイドの初期分析で欠落していた。
• ${}_1\Psi_0(z)$ の漸近的挙動の領域境界は、ワイドの1940年の論文よりより正確に精緻化された。特に $-1 < a < 0$ の領域で顕著である。
• 付録に記載された係数アルゴリズムにより、$A_j$ を最大100項まで再帰的に計算可能であり、Mathematica を用いた数値的精度が確認された。
• 数値的計算により、導出された展開の正しさが裏付けられ、指数的になすり小さなものとそのストークス遷移も検証された。
• $\sigma = \frac{1}{2}$ の場合、${}_1\Psi_0(xe^{\pm \pi i \sigma})$ の展開が退化超幾何関数表現と一致し、導出された漸近形 (4.18) の妥当性が確認された。