[論文レビュー] The Atiyah-Patodi-Singer index on manifolds with non-compact boundary

Maxim Braverman, Pengshuai Shi|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有界幾何学的仮定なしに、非コンパクト境界をもつ完全な奇数次元多様体上の強力なカリアス型作用素に対して、アティヤ＝パトディ＝サイモンズ指数定理を確立する。個々のエータ不変量が定義されないにもかかわらず、それらの差が関係するかのように振る舞う相対的エータ不変量を導入し、これが2倍のスペクトルフローに等しいことを証明する。これにより、有界幾何学的仮定なしに非コンパクトな設定への指数理論が拡張される。

ABSTRACT

We study the index of the APS boundary value problem for a strongly Callias-type operator D on a complete Riemannian manifold $M$. We show that this index is equal to an index on a simpler manifold whose boundary is a disjoint union of two complete manifolds $N_0$ and $N_1$. If the dimension of $M$ is odd we show that the latter index depends only on the restrictions $A_0$ and $A_1$ of $D$ to $N_0$ and $N_1$ and thus is an invariant of the boundary. We use this invariant to define the relative eta-invariant $η(A_1,A_0)$. We show that even though in our situation the eta-invariants of $A_1$ and $A_0$ are not defined, the relative eta-invariant behaves as if it was the difference $η(A_1)-η(A_0)$.

研究の動機と目的

• 非コンパクト境界をもつ完全な奇数次元多様体へのアティヤ＝パトディ＝サイモンズ指数定理の一般化。
• 非コンパクトな設定における強力なカリアス型作用素に対して、楕円境界条件のもとでの不変指数の定義。
• 個々のエータ不変量が定義されない場合でも、それらの差が関係するかのように振る舞う相対的エータ不変量の導入。
• 境界作用素のコボルディズムの指数と関連する相対的エータ不変量とスペクトルフローの関係を確立するスペクトルフローの公式の確立。
• 非コンパクト超曲面に沿って分解された多様体における指数の分割定理の確立。

提案手法

• 有界でない境界をもつ完全な多様体上に、スペクトルが離散的であることを保証するポテンシャルのより強い成長条件を満たす強力なカリアス型作用素を導入する。
• 境界作用素の固有セクションを用いて境界上のスケールのソボレフ空間を構成し、境界作用素に依存する楕円境界条件の定義を可能にする。
• 非コンパクトな設定においてコンパクト多様体の代わりに、コンパクト集合の外ではシリンダーモデルである多様体（本質的にシリンダーモデルである多様体）を定義する。
• 多様体をシリンダに拡張することでコボルディズム構成を行い、境界値問題の指数と作用素族のスペクトルフローとの関係を確立する。
• 境界成分にAPS境界条件を適用し、スペクトルセクションを用いて連続的な境界条件族を定義する。
• 境界条件の連続族に沿って定義域の同型が成り立つことにより、指数が一定であることを証明し、これによりスペクトルフローの公式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何学的仮定やコンパクト性を仮定しない非コンパクト境界をもつ多様体に対し、アティヤ＝パトディ＝サイモンズ指数定理を拡張できるか？
• RQ2 個々の不変量が定義されない非コンパクト多様体上での2つの作用素のエータ不変量の差を捉える、well-definedな不変量が存在するか？
• RQ3 非コンパクト多様体上の境界値問題の指数は、境界上での作用素族のスペクトルフローとどのように関係するか？
• RQ4 非コンパクト超曲面に沿って分解された非コンパクト多様体上の指数を分割定理で記述できるか？
• RQ5 相対的エータ不変量と境界上での自己共役作用素族のスペクトルフローとの正確な関係は何か？

主な発見

• 非コンパクト境界をもつ完全な奇数次元多様体上に定義された強力なカリアス型作用素が楕円境界条件を満たすとき、その指数はフレドホルムである。
• 多様体が非コンパクト超曲面に沿って分割されるとき、境界付き多様体上の境界値問題の指数は、2つの部分の指数の和に等しい。
• η(𝒜₁) と η(𝒜₀) が定義されない場合でも、相対的エータ不変量 η(𝒜₁,𝒜₀) はwell-definedであり、それらの差が関係するかのように振る舞う。
• 相対的エータ不変量は、η(𝒜¹,𝒜⁰) = 2·sf(𝒜) を満たす。ここで sf(𝒜) は作用素族 𝒜 のスペクトルフローである。
• コボルディズム多様体上の拡張作用素の指数は、族に沿って一定であり、これによりスペクトルフローの公式が得られる。
• 境界上での作用素族のスペクトルフローは、相対的エータ不変量の差の半分に等しく、指数論とスペクトル不変量との深い関係を確立する。