[論文レビュー] The Atiyah Patodi Singer signature formula for measured foliations

Paolo Antonini|ArXiv.org|Jan 2, 2009

Structural Health Monitoring Techniques被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホロノミー不変横断測度を備えた葉層構造付き空間への $L^2$-インデックス理論の一般化を通じて、境界を有する多様体上の測度付き葉層構造に対して、アティヤ＝パトディ＝サイモンの署名公式を確立する。この枠組みにおいて、解析的、ホッジ的、デ・ラームの署名が一致することを証明し、$ hat{A}$-類と $ Lambda$-エータ不変量を含む署名公式を導出することで、非可換幾何的設定への古典的インデックス理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

Let $(X_0,\mathcal{F}_0) $ be a compact manifold with boundary endowed with a foliation $\mathcal{F}_0$ which is assumed to be measured and transverse to the boundary. We denote by $Λ$ a holonomy invariant transverse measure on $(X_0,\mathcal{F}_0) $ and by $\mathcal{R}_0$ the equivalence relation of the foliation. Let $(X,\mathcal{F})$ be the corresponding manifold with cylindrical end and extended foliation with equivalence relation $\mathcal{R}$. In the first part of this work we prove a formula for the $L^2$-$Λ$ index of a longitudinal Dirac-type operator $D^{\mathcal{F}}$ on $X$ in the spirit of Alain Connes' non commutative geometry $ind_{L^2,Λ}(D^{\mathcal{F},+}) = + 1/2[η_Λ(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_Λ + h^-_Λ].$

研究の動機と目的

• 境界を有する多様体に横断的境界に直交する測度付き葉層構造が与えられた場合に、アティヤ＝パトディ＝サイモンのインデックス定理を一般化すること。
• そのような葉層構造付き多様体に対して、解析的、ホッジ的、デ・ラームの三つの署名概念を定義し、それらを比較すること。
• 葉層構造における $L^2$-インデックス理論の文脈で、$ hat{A}$-類と $ Lambda$-エータ不変量を含む署名公式を確立すること。
• ホロノミー不変横断測度とフォン・ノイマン代数を用いて、古典的署名理論と非可換幾何学を統合すること。

提案手法

• 境界を有するコンパクトな葉層構造付き多様体 $(X_0, \mathcal{F}_0)$ から、円筒的端を持つ多様体 $X$ を構成し、葉層構造と同値関係を $ R$ に拡張する。
• ホロノミー不変横断測度 $ Lambda$ に関する $L^2$-インデックス理論を適用し、縦方向ディラック作用素 $D^{\mathcal{F}}$ の $L^2$-$\nLambda$-インデックスを定義する。
• フォン・ノイマン代数における非可換積分理論とブロイアー＝フレドホルム理論を用いて、葉層構造付き設定における $L^2$-インデックスを扱う。
• 三つの署名を定義する：解析的（署名作用素の $L^2$-$\nLambda$-インデックスによる）、ホッジ的（調和形式による）、デ・ラーム的（相対デ・ラームコホロジーによる）葉層複体上での。
• スペクトル密度関数と $L^2$-コホロジーにおける弱く完全な系列の理論を用いて、これら三つの署名が等しいことを証明する。
• 主要な署名公式を導出する：$\sigma_{\nLambda,\text{dR}}(X,\partial X_0) = \langle L(T\mathcal{F}_0), C_\nLambda \rangle + \frac{1}{2} \eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を有する多様体に測度付き葉層構造が備わっている場合、アティヤ＝パトディ＝サイモンのインデックス定理をどのように拡張できるか？
• RQ2 測度付き葉層構造における $L^2$-インデックス理論の文脈で、解析的、ホッジ的、デ・ラームの署名は一致するか？
• RQ3 葉層構造付き境界を有する多様体の署名公式において、$ Lambda$-エータ不変量は果たす役割は何か？
• RQ4 非可換幾何学、特にフォン・ノイマン代数と横断測度を用いることで、葉層構造付き設定における $L^2$-署名をどのように定義できるか？

主な発見

• 境界を有する葉層構造付き多様体における解析的、ホッジ的、デ・ラームの署名は等しい：$\sigma_{\nLambda,\text{an}}(X,\partial X_0) = \sigma_{\nLambda,\text{Hodge}}(X,\partial X_0) = \sigma_{\nLambda,\text{dR}}(X,\partial X_0)$。
• 縦方向ディラック作用素の $L^2$-$\nLambda$-インデックスは、$\operatorname{ind}_{L^2,\nLambda}(D^{\mathcal{F},+}) = \langle \hat{A}(T\mathcal{F})\operatorname{Ch}(E/S), C_\nLambda \rangle + \frac{1}{2}[\eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_{\nLambda} + h^-_{\nLambda}]$ で与えられる。
• 主要な署名公式は、$\sigma_{\nLambda,\text{dR}}(X,\partial X_0) = \langle L(T\mathcal{F}_0), C_\nLambda \rangle + \frac{1}{2}\eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$ であり、古典的なアティヤ＝パトディ＝サイモンの公式を一般化する。
• $\nLambda$-エータ不変量 $\eta_\nLambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$ は、境界寄与項を補正するための中心的役割を果たす。
• 署名の等価性は、スペクトル密度関数と $L^2$-コホロジーにおける弱く完全な系列の理論を用いて確立される。
• この枠組みは、コンヌーの非可換幾何学と横断測度を用いて、アティヤの $L^2$-署名定理を葉層構造付き空間へ拡張する。