[論文レビュー] The Automatic Synthesis of Linear Ranking Functions: The Complete Unabridged Version

Roberto Bagnara, Fred Mesnard+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、プログラムループの終了性を証明するための線形ランク関数を自動合成する2つのアルゴリズムを提示し、形式的裏付けを提供する。1つはSohnとVan Gelder（1991）に由来するが、主な検証分野で長らく無視されてきたものであり、もう1つはPodelskiとRybalchenko（2004）によるものである。両者の同等性を確立し、最悪ケースの計算量を分析し、実験的に効率性を評価した。また、自動化されたプログラム検証ツールへの統合を可能にする、Parma Polyhedra Library（PPL）におけるオープンソース実装を公開した。

ABSTRACT

The classical technique for proving termination of a generic sequential computer program involves the synthesis of a ranking function for each loop of the program. Linear ranking functions are particularly interesting because many terminating loops admit one and algorithms exist to automatically synthesize it. In this paper we present two such algorithms: one based on work dated 1991 by Sohn and Van Gelder; the other, due to Podelski and Rybalchenko, dated 2004. Remarkably, while the two algorithms will synthesize a linear ranking function under exactly the same set of conditions, the former is mostly unknown to the community of termination analysis and its general applicability has never been put forward before the present paper. In this paper we thoroughly justify both algorithms, we prove their correctness, we compare their worst-case complexity and experimentally evaluate their efficiency, and we present an open-source implementation of them that will make it very easy to include termination-analysis capabilities in automatic program verifiers.

研究の動機と目的

• 1991年のSohnとVan Gelderのアルゴリズムを形式的に裏付け・一般化すること。このアルゴリズムは、終了性解析において広範な適用可能性を示しながらも、長らく無視されてきた。
• PodelskiとRybalchenko（2004）による線形ランク関数合成のためのアルゴリズムに対して、初めての完全な正しさの証明と理論的裏付けを提供すること。
• 2つのアルゴリズムを、正しさ、完全性、最悪ケースの計算量、および実世界のベンチマークにおける実効性の観点から比較すること。
• Parma Polyhedra Library（PPL）に両アルゴリズムのオープンソース実装を提示し、自動化されたプログラム検証ツールへの統合を支援すること。
• 多様な実世界プログラムを対象に、合成手法の実用的精度と性能を実証し、ループの終了性を決定する成功率が極めて高いことを示すこと。

提案手法

• ループ遷移関係から導かれる線形不等式の制約満たし問題として、線形ランク関数の自動合成問題を形式化する。
• SohnとVan Gelderの手法を適用し、線形ランク関数の存在を線形制約系としてモデル化し、線形計画法またはFourier-Motzkin削減により解く。
• PodelskiとRybalchenkoの手法を、Farkasの補題の変種を用いて、遷移制約の非負の線形結合によって線形ランク関数の存在を特徴付ける形に再定式化する。
• 冗長な制約処理を回避することで効率性を向上させる、Podelski-Rybalchenko手法の代替定式化を導入する。
• プログラムの振る舞いを正確に抽象化できるよう、静的解析のための精度の高いパラメータを提供する、Parma Polyhedra Library（PPL）を用いる。
• CaffeineMark、JavaCC、NQueensなどを含む多様なベンチマークスイートを用いた実験的評価を行い、2つのアルゴリズムの性能と精度を複数の指標で比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SohnとVan GelderのアルゴリズムおよびPodelskiとRybalchenkoのアルゴリズムが、線形ランク関数を正しく合成できる条件は何か？
• RQ2 2つのアルゴリズムの最悪ケース時間計算量を比較するとどうなるか。実世界の検証タスクにおける実用的影響は何か？
• RQ3 両アルゴリズムは、与えられたループに対して線形ランク関数が存在する場合に常にそれを発見できるか、相対的完全性をどの程度達成しているか？
• RQ4 実世界のプログラムにおいて、両アルゴリズムはどの程度有効に機能するか。また、これらの手法で終了性が証明可能なループの割合はどの程度か？
• RQ5 SohnとVan Gelderの手法は、条件付き終了性解析をサポートするように拡張可能か。この文脈でPodelskiとRybalchenkoの手法と比較して、その性能はいかがなものか？

主な発見

• SohnとVan GelderのアルゴリズムとPodelskiとRybalchenkoのアルゴリズムは、線形ランク関数が存在する限り、その合成能力において同等であることが確認され、相対的完全性が裏付けられた。
• 線形ランク関数の存在を判定する半決定的問題においては、SohnとVan Gelderの手法がより効率的である一方、全 affine ランク関数の空間を計算する際には、PodelskiとRybalchenkoの手法が優れている。
• ベンチマークスイートのループの平均75％から99％において、両アルゴリズムが終了性を正しく決定できたことから、実用的な精度が極めて高いことが示された。
• 実験的評価では、2つの手法の間で実行時間にほとんど差がなく、標準的なデスクトップシステム上では平均して12秒未塔、メモリ使用量は53MB未塔であった。
• Parma Polyhedra Library（PPL）におけるオープンソース実装により、自動化された検証ツールへのシームレスな統合が可能となり、自動化された終了性解析の採用障壁が著しく低下した。
• 本研究により、多様な実世界プログラムに対して、線形ランク関数を効率的かつ信頼性高く合成可能であることが確認され、自動化された終了性解析が実用的でスケーラブルな検証技術であることが示された。