[論文レビュー] The automorphic NS5-brane

Boris Pioline, Daniel Persson|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 62被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、タイプII弦理論の compactification において、D5-およびNS5-ブレーンのインスタントン寄与が、$SL(3,\mathbb{Z})$ duality 対称性によって支配されることを提案する。これは、$SL(3,\mathbb{R})$ イーゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ展開を用いて、拡張されたユニバーサルハイパーマニフォールドを自動的に変換することで達成される。$k$ 個の NS5-ブレーンに対応する明示的な波動関数 $\Psi_{k,\ell}$ を導出し、最小的トーティエ級数を用いて D(-1)-D1-D3-D5-NS5 インスタントンの束縛状態に一致する指数的補正を特定する。

ABSTRACT

Understanding the implications of SL(2,Z) S-duality for the hypermultiplet moduli space of type II string theories has led to much progress recently in uncovering D-instanton contributions. In this work, we suggest that the extended duality group SL(3,Z), which includes both S-duality and Ehlers symmetry, may determine the contributions of D5 and NS5-branes. We support this claim by automorphizing the perturbative corrections to the "extended universal hypermultiplet", a five-dimensional universal SL(3,R)/SO(3) subspace which includes the string coupling, overall volume, Ramond zero-form and six-form and NS axion. Using the non-Abelian Fourier expansion of the Eisenstein series attached to the principal series of SL(3,R), first worked out by Vinogradov and Takhtajan 30 years ago, we extract the contributions of D(-1)-D5 and NS5-brane instantons, corresponding to the Abelian and non-Abelian coefficients, respectively. In particular, the contributions of k NS5-branes can be summarized into a vector of wave functions Ψ_{k,l}, l=0... k-1, as expected on general grounds. We also point out that for more general models with a symmetric moduli space G/K, the minimal theta series of G generates an infinite series of exponential corrections of the form required for "small" D(-1)-D1-D3-D5-NS5 instanton bound states. As a mathematical spin-off, we make contact with earlier results in the literature about the spherical vectors for the principal series of SL(3,R) and for minimal representations.

研究の動機と目的

• D5-およびNS5-ブレーンインスタントン寄与がハイパーマニフォールドの moduli 空間に与える影響を決定づける $SL(3,\mathbb{Z})$ 対称性（S-duality や Ehlers 対称性を含む）の役割を理解すること。
• $SL(2,\mathbb{Z})$-不変な D-インスタントン補正の枠組みを、$SL(3,\mathbb{R})$ イーゼンスタイン級数を用いて NS5-ブレーン効果を含める形に拡張すること。
• $SL(3,\mathbb{R})$ の主系列に付随する $SL(3,\mathbb{R})$ イーゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ展開から、インスタントン寄与を抽出すること。Vinogradov, Takhtajan, Bump の結果を用いる。
• $k$ 個の NS5-ブレーンインスタントンが、$\ell = 0,\dots,k-1$ の波動関数のベクトル $\Psi_{k,\ell}$ に符号化されていることを示し、物理的期待と整合することを確認すること。
• $G = SL(3,\mathbb{R})$ の最小的トーティエ級数が、対称的 moduli 空間 $K\backslash G$ における小さなインスタントン束縛状態に対応する無限系列の指数的補正を生成することを示すこと。

提案手法

• $SL(3,\mathbb{Z})$-不変なイーゼンスタイン級数を用いて、拡張されたユニバーサルハイパーマニフォールドの摂動的補正を自動化すること。
• $SL(3,\mathbb{R})$ 上のイーゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ展開を適用し、D(-1)-D5 および NS5-ブレーンインスタントンに対応するアーベルおよび非アーベルフーリエ係数を抽出すること。
• $SL(3,\mathbb{R})$ の主系列の球的ベクトルを用いて、$k$ 個の NS5-ブレーンに対応する波動関数 $\Psi_{k,\ell}$ を計算すること。
• $p$-進球的ベクトルの積を用いて、和の測度 $f_{\mathbb{Z}}(y,x_0,x_1)$ を導出し、$y \to 0$ の極限での振る舞いを解析してアーベル係数を抽出すること。
• 鞍点近似と修正ベッセル関数 $K_{s-1/2}$ を含む積分表現を用いて、半古典的領域におけるイーゼンスタイン級数を評価すること。
• 既知の結果との整合性を検証する：$s_1=s_2=0$ の極限における球的ベクトルは、$E_6$ の最小表現の半古典的球的ベクトルと一致し、$G_2(2)$ の既知の形に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SL(2,\mathbb{Z})$ を超える $SL(3,\mathbb{Z})$ 対称性を、タイプII compactification における D5-およびNS5-ブレーンインスタントン寄与を整理するためにどのように用いることができるか？
• RQ2 波動関数 $\Psi_{k,\ell}$ の正確な数学的構造は何か？ これは $k$ 個の NS5-ブレーンインスタントンを記述する。
• RQ3 $SL(3,\mathbb{R})$ イーゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ係数が、NS5-ブレーンインスタントンからの指数的補正をどのように符号化しているか？
• RQ4 $SL(3,\mathbb{R})$ の最小的トーティエ級数が、D(-1)-D1-D3-D5-NS5 システムの小さなインスタントン束縛状態に必要な全指数的補正を生成できるか？
• RQ5 $SL(3,\mathbb{R})$ の主系列の球的ベクトルが、半古典的極限で既知の結果を再現する仕組みは何か？特に $E_6$ の最小表現および $G_2(2)$ との関係において。

主な発見

• $SL(3,\mathbb{R})$ イーゼンスタイン級数の非アーベルフーリエ展開により、$k$ 個の NS5-ブレーンに対応する波動関数 $\Psi_{k,\ell}$（$\ell = 0,\dots,k-1$）が得られ、物理的整合性から予想される構造を確認した。
• アーベルフーリエ係数 $\Psi_{p,q}$ は、球的ベクトルの $y \to 0$ 極限から抽出され、特異な位相と測度のキャンセレーションが成立し、明確な表現が得られる。
• $s_1 = s_2 = 0$ の極限における球的ベクトルは、$SL(3,\mathbb{R})$ に制限された $E_6$ の最小表現の半古典的球的ベクトルと一致し、アプローチの妥当性を裏付けた。
• アーベル極限における波動関数 $\tilde{f}_K(0,x_0,x_1)$ は、修正ベッセル関数 $K_{s_3-1/2}$ を含む二重積分として表現され、$x_0$ および $x_1$ に明示的な依存性を示す。
• 球的ベクトルの $y,x_0,x_1$ が大きい極限における漸近形は、$G_2(2)$ の最小表現の既知の半古典的表現を再現し、準コンformal群論と整合していることを確認した。
• 和の測度 $f_{\mathbb{Z}}(y,x_0,x_1)$ が、$d^2 \mid x_1^3$（ただし $d = \gcd(y,x_0)$）でない限り消えることが示され、インスタントン寄与に数論的制約が存在することを明らかにした。