[論文レビュー] The automorphism group of a minimal shift of stretched exponential growth

Van Cyr, Bryna Kra|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、伸びる指数的または多項式的複雑性成長を示す最小部分符号的力学系の自己同型群がアメーブルであることを確立している。有限生成でねじれのない部分群は、指数的成長またはほぼノルム的構造を示す。主な結果は、成長率が $ n^{1/2} $ 未満（伸びる指数的）または $ o(n^d) $ 未満（多項式的）の場合、自己同型群が制限を受けることであり、正エントロピー系で見られる豊かな構造とは対照的である。

ABSTRACT

The group of automorphisms of a symbolic dynamical system is countable, but often very large. For example, for a mixing subshift of finite type, the automorphism group contains isomorphic copies of the free group on two generators and the direct sum of countably many copies of $\mathbb{Z}$. In contrast, the group of automorphisms of a symbolic system of zero entropy seems to be highly constrained. Our main result is that the automorphism group of any minimal subshift of stretched exponential growth with exponent $<1/2$, is amenable (as a countable discrete group). For shifts of polynomial growth, we further show that any finitely generated, torsion free subgroup of Aut(X) is virtually nilpotent.

研究の動機と目的

• ゼロエントロピーの記号的力学系における自己同型群の代数的構造を調査すること。
• 要因複雑性 $ P_X(n) $ の成長率が $ \mathrm{Aut}(X) $ の群論的性質にどのように制約を加えるかを特定すること。
• 線形および部分二次の複雑性に関する先行研究を、伸びる指数的および多項式的成長を含むより広いクラスに拡張すること。
• ゆっくりとした複雑性成長を示す最小部分符号的力学系において、アメーブル性およびノルム的制約が生じることを示すこと。
• ゼロエントロピー系の自己同型群が、正エントロピー系のそれらと根本的に制約が強いのかという未解決の問いに答えること。

提案手法

• 長い一意的拡張を持つ拡張可能な語を用いて、自己同型群の要素の成長を制御する。
• Bass-Guivarc’hの公式を介してGromovの定理を応用し、ノルム的部分群の段階を上限付ける。
• van den DriesとWilkieによるGromovの定理の強化を活用し、$ n $ の無限列に沿った成長上限を適用する。
• 複雑性上限 $ P_X(n) $ を用いて $ \mathrm{Aut}_{Rm}(X) \cap G $ のサイズを推定し、指数的成長または多項式的成長の推定に至る。
• Curtis-Hedlund-Lyndonの定理を用いて、自己同型が有限パターンによって決定されることを保証する。
• ねじれのない群が最小系に作用する場合、一般語における安定化群が自明になるという事実を用いて、群要素写像の単射性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伸びる指数的複雑性成長 $ < n^{1/2} $ を示す最小部分符号的力学系の自己同型群がアメーブルであることを示せるか？
• RQ2 多項式的複雑性成長 $ o(n^d) $ が、$ \mathrm{Aut}(X) $ の有限生成でねじれのない部分群の構造にどのような制約を加えるか？
• RQ3 複雑性が三次未塔の場合、最小部分符号的力学系の自己同型群が非アーベルノルム的部分群を含むことは可能か？
• RQ4 複雑性が $ n^{1/2} $ 未塔で成長する最小部分符号的力学系において、$ \mathrm{Aut}(X) $ のアメーブル性を確立できるか？
• RQ5 ヘイゼンベルク群が部分群として存在しない場合、三次未塔の複雑性において、すべての有限生成でねじれのない $ \mathrm{Aut}(X) $ の部分群がほぼアーベル的であると示せるか？

主な発見

• 任意の伸びる指数的複雑性成長率 $ \beta < 1/2 $ を示す最小部分符号的力学系について、自己同型群 $ \mathrm{Aut}(X) $ はアメーブルである。
• このような系における、有限生成でねじれのない $ \mathrm{Aut}(X) $ のすべての部分群は、指数的成長を示す。
• 多項式的複雑性 $ o(n^d) $ を示す最小部分符号的力学系において、有限生成でねじれのないすべての部分群は、成長率が最大 $ d-1 $ の多項式的成長を示すほぼノルム的群である。
• ノルム的部分群の段階は、上界として $ \left\lfloor \frac{-1 + \sqrt{8d - 7}}{2} \right\rfloor $ で与えられ、明確な構造的制約を提供する。
• 特に $ d = 3 $ の場合、すべての有限生成でねじれのない $ \mathrm{Aut}(X) $ の部分群はほぼアーベル的であり、以前の結果を改善する。
• 証明技法は、一意的拡張を持つ長い語を構成し、複雑性上限を用いて自己同型群の要素の成長を制御することに依存する。