[論文レビュー] The average exponent of elliptic curves modulo $p$

Jie Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、FreibergとKurlbergの先行研究を改善し、素数 $ p $ を法とする楕円曲線の平均指数 $ e_p $ に対する漸近公式を確立する。一般化されたリーマン予想（GRH）のもとで、$ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E(x^{5/6}((\log x)^{4/3}) $ が成り立ち、特に対数のべき乗の誤差項が著しく改善されている。また、複素乗乗性（CM）を持つ楕円曲線に対しては、条件なしで $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E\left(\frac{x}{(\log x)^{1/14}}\right) $ が得られ、誤差項が顕著に改善されている。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over ${\mathbb Q}$. For a prime $p$ of good reduction for $E$, denote by $e_p$ the exponent of the reduction of $E$ modulo $p$. Under GRH, we prove that there is a constant $C_E\in (0, 1)$ such that $$ \frac{1}{π(x)} \sum_{p\le x} e_p = 1/2 C_E x + O_E\big(x^{5/6} (\log x)^{4/3}\big) $$ for all $x\ge 2$, where the implied constant depends on $E$ at most. When $E$ has complex multiplication, the same asymptotic formula with a weaker error term $O_E(1/(\log x)^{1/14})$ is established unconditionally. These improve some recent results of Freiberg and Kurlberg.

研究の動機と目的

• 楕円曲線の平均指数 $ e_p $ の漸近的推定値を、FreibergとKurlbergの最近の結果を改善すること。
• 分割体 $ L_k = \mathbb{Q}(E[k]) $ のデデキンドゼータ関数に関するGRHのもとでの誤差項を鋭くし、誤差を $ x^{9/10} $ から $ x^{5/6} $ に削減すること。
• 複素乗乗性（CM）を持つ楕円曲線に対して、条件なしで漸近公式を証明し、誤差項を $ O_E(x / (\log x)^{1/14}) $ にすること。これは、有効なチエボタレフ密度推定を用いて達成される。
• FreibergとKurlbergの手法を、特に $ d_p $ と $ e_p $ の和を扱う際の群構造と密度定理を用いた、有効な解析的整数論の道具を統合・簡略化すること。

提案手法

• 和 $ \sum_{p \leq x} e_p $ を、群構造 $ E_p(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{Z}/d_p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/e_p\mathbb{Z} $ を用いて表現し、$ e_p = \frac{p+1-a_p}{d_p} $ と $ a_p $（フロベニウスのトレース）を関連付ける。
• 和を二つの部分に分解する：$ S_1 $ は $ k \leq y $ についての和で、$ k \mid d_p $ を満たすもの。$ S_2 $ は $ k > y $ についての和。二重分割（dyadic summation）と二重分割（dyadic partitioning）を用いて、誤差項をバランスさせる。
• $ S_1 $ に対しては、$ k \mid d_p $ を満たす素数 $ p \leq x $ の個数を、$ k $-分割体 $ L_k $ に適用したチエボタレフ密度定理を用いて推定する。GRHのもとでは有効な境界を、CM曲線に対しては条件なしで有効な境界を用いる。
• $ S_2 $ に対しては、ブラウン-ティッチマーシュ不等式と、$ k^2 \mid p+1-a_p $ および $ k \mid p-1 $ を満たす $ p \leq x $ の個数の境界を用いる。$ k \mid d_p $ ならば $ k^2 \mid (p+1-a_p) $ かつ $ k \mid (a_p - 2) $ であることに着目する。
• 誤差項を最適化するため、GRHのもとでは $ y = x^{1/3}(\log x)^{-2/3} $、CM曲線に対しては $ y = (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ を選ぶ。これにより $ S_1 $ と $ S_2 $ の誤差項の合計が最小化される。
• 定数 $ C_E $ は $ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_{L_k}} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $ として定義され、分割体の構造に関するモービウス反転から生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線の平均指数 $ e_p $ の正確な漸近的挙動は何か？ そして誤差項はどのように改善できるか？
• RQ2 FreibergとKurlbergのGRHに基づく誤差項 $ O_E(x^{9/10} (\log x)^{11/5}) $ は改善可能か？ もしそうなら、どの程度改善できるか？
• RQ3 複素乗乗性（CM）を持つ楕円曲線に対して、$ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p $ の漸近公式を条件なしで、かつ $ O_E(x \log_3 x / \log_2 x) $ よりも良い誤差項で確立できるか？
• RQ4 分割体 $ L_k = \mathbb{Q}(E[k]) $ の構造は $ d_p $ の分布にどのように影響するか？ そして、$ e_p $ の推定にどのように利用できるか？
• RQ5 誤差項 $ S_1 $ と $ S_2 $ の最適なバランスは何か？ そして、このバランスは二重分割パラメータ $ y $ の選択にどのように依存するか？

主な発見

• GRHのもとでは、平均指数は $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E(x^{5/6}(\log x)^{4/3}) $ を満たし、以前の誤差項 $ O_E(x^{9/10} (\log x)^{11/5}) $ よりも改善されている。
• 複素乗乗性（CM）を持つ楕円曲線に対しては、条件なしで漸近公式が成り立ち、誤差項は $ O_E\left(\frac{x}{(\log x)^{1/14}}\right) $ に改善されている。これは、以前の条件なしの境界 $ O_E(x \log_3 x / \log_2 x) $ より顕著に改善されている。
• 定数 $ C_E = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_{L_k}} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $ で、$ n_{L_k} = [L_k : \mathbb{Q}] $ である。これは、$ k $- torsion 群体の構造に関するモービウス反転から生じ、主要項を支配する。
• GRHのもとでの誤差項の改善は、洗練された二重分割と、$ k \mid d_p $ を満たす素数 $ p \leq x $ の個数に対する、有効なチエボタレフ密度推定（誤差 $ O(x^{1/2} \log(N_E x)) $）を用いた、より鋭い境界によるものである。
• CM曲線の条件なし誤差項は、有効なチエボタレフ密度定理の境界 $ O_E(x^2 \exp\{-B(\log x)^{5/14}\}) $ を用いて導出され、$ k \leq (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ の範囲で有効である。
• 最適な二重分割パラメータ $ y $ は、GRHのもとで $ x^{1/3}(\log x)^{-2/3} $、CM曲線に対しては $ (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ であり、$ S_1 $ と $ S_2 $ の誤差項の合計を最小化する。