[論文レビュー] The average number of elements in the 4-Selmer groups of elliptic curves is 7

Manjul Bhargava, Arul Shankar|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の4-Selmer群の平均サイズが、ちょうど7であることを証明する。4-Selmer元をℙ³内の2つの二次形式の局所的可解な軌道として幾何的に表現することで、不変式理論とアデール的積分を用いて平均を計算し、2および3-Selmer群に関する先行結果を拡張し、より広範なn-Selmer群の平均に関する予想を支持する。

ABSTRACT

We prove that when all elliptic curves over $\mathbb{Q}$ are ordered by height, the average size of their 4-Selmer groups is equal to 7. As a consequence, we show that a positive proportion (in fact, at least one fifth) of all 2-Selmer elements of elliptic curves, when ordered by height, do not lift to 4-Selmer elements, and thus correspond to nontrivial 2-torsion elements in the associated Tate--Shafarevich groups.

研究の動機と目的

• 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の4-Selmer群の平均サイズを特定すること。
• この結果を係数AとBに関する有限個の合同条件で定義される族に拡張すること。
• 2-Selmer元の正の割合が4-Selmer元に引き上げられないことを確立し、Tate–Shafarevich群における非自明な2 torsionが存在することを示すこと。
• すべての正の整数nに対して、n-Selmer群の平均サイズがσ(n)（nの約数の和）に等しいという予想を支持すること。
• Goldfeld–Katz–Sarnak予想、すなわち楕円曲線のランクが50%:50%に分布することを理論的根拠として提供すること。

提案手法

• ℙ³内の2つの二次形式の表現空間Vℚにおける、局所的可解なGℚ軌道として4-Selmer元を表現する。
• 群Gℝ = (GL₂ × GL₄)/{ (λ⁻²I₂, λI₄) } の不変式環を用いて、ヤコビアン楕円曲線に不変量AとBを関連付ける。
• ℝおよびℚₚ上のアデール的積分と体積計算を適用し、局所的可解軌道の密度を計算する。
• E[4]およびE[2] over ℚの構造を用いて、4-Selmer群の平均サイズを2-torsionが非自明な軌道の数に関連付ける。
• 既知の2-Selmer群の平均サイズ（3）と、4-Selmer群における2-torsionでない元の平均数（4）を用い、合計の平均サイズが7であることを導出する。
• S₄(E) → S₂(E) における×2写像の下で像を持たない2-Selmer元の平均数の下界として3/5を確立し、S₄(E)における4階の元の平均サイズに関する境界を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の4-Selmer群の平均サイズは何か？
• RQ2 AとBに関する有限個の合同条件で定義される族においても、4-Selmer群の平均サイズは7のまま保たれるか？
• RQ3 2-Selmer元がどれほど4-Selmer元に引き上げられないか、そしてこれはTate–Shafarevich群にどのような意味を持つのか？
• RQ4 すべての正の整数nに対して、n-Selmer群の平均サイズに一般的なパターンが存在するか？
• RQ5 このような平均サイズは、ℚ上の楕円曲線のランク分布にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の4-Selmer群の平均サイズは、正確に7である。
• この結果は、係数AとBに関する有限個の合同条件で定義される任意の楕円曲線族においても一様に成り立つ。
• 2-Selmer元の正の割合（具体的には少なくとも1/5）が4-Selmer元に引き上げられないため、Tate–Shafarevich群における非自明な2 torsionに対応する。
• 4-Selmer群に属する2の位数を割り切らない元の平均数は4であり、2-Selmer群の平均サイズは3であり、合計で7となる。
• 写像×2: S₄(E) → S₂(E) の下で像を持たない2-Selmer元の平均数のliminfは少なくとも3/5であり、この下界は鋭い。
• これらの結果は、n-Selmer群の平均サイズがσ(n)（nの約数の和）に等しいという予想を支持しており、n = 1, 2, 3, 4 でこれが証明済みである。