[論文レビュー] The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point

Manjul Bhargava, Benedict H. Gross|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用数 61

ひとこと要約

この論文は、有理数のWeierstrass点をもつ高さで順序付けられた超楕円曲線（genus $ n \geq 1 $）について、そのヤコビアンの2-Selmer群の平均サイズがちょうど3であることを確立している。著者らは幾何的不変式理論の手法を用い、再帰的群が表現空間に作用する整数軌道を解析し、アデール的積分とふるい法を組み合わせて平均サイズを計算し、Chabauty法による有理点の有効な上限を得た。

ABSTRACT

We prove that when all hyperelliptic curves of genus $n\geq 1$ having a rational Weierstrass point are ordered by height, the average size of the 2-Selmer group of their Jacobians is equal to 3. It follows that (the limsup of) the average rank of the Mordell-Weil group of their Jacobians is at most 3/2. The method of Chabauty can then be used to obtain an effective bound on the number of rational points on most of these hyperelliptic curves; for example, we show that a majority of hyperelliptic curves of genus $n\geq 3$ with a rational Weierstrass point have fewer than 20 rational points.

研究の動機と目的

• 高さで順序付けられた、有理Weierstrass点をもつ超楕円曲線（genus $ n \geq 1 $）のヤコビアンの2-Selmer群の平均サイズを特定すること。
• この平均値が、高さ順序付けのもとで、係数に関する合同条件で定義される族に制限されても、依然として正確に3に等しいことを確立すること。
• Chabauty法を用いて、このような曲線の有理点の数に対する有効な上界を導出すること。
• BhargavaとGrossの手法を、軌道数え上げとアデール的数論幾何の技術を用いて、より高次の超楕円曲線へと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、ヤコビアン内の2-torsion構造をパラメトライズする、整数係数二進型形式の空間への正規直交群の表現を構成する。
• ガロアコhomオロジーとVinbergの冪零軌道理論を用いて、整数軌道を分類し、$ \mathbb{Z} $および$ \mathbb{Z}_p $上での基本領域を同定する。
• 数論幾何の推定式を用いて、高さが有界な無限大整数点を数え、局所密度および合同条件を組み込む。
• 重み付きふるい法を用いてSelmer元を特定し、局所密度は$ \mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu)/2\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu) $の構造に基づいて計算する。
• アデール体積公式$ \mathrm{vol}(V(\mathbb{A})_{<X}/G(\mathbb{Q})) = 2 \cdot \mathrm{vol}(S(\mathbb{A})_{<X}) $を用いて、グローバルな数え上げと局所測度を関連付ける。
• 等分布性とHerbrand商の積分公式を用いて、非自明な2-Selmer元の平均数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けられた、有理Weierstrass点をもつ超楕円曲線（genus $ n \geq 1 $）のヤコビアンの2-Selmer群の平均サイズは何か？
• RQ2 係数に関する合同条件で定義される族に制限された場合でも、この平均値は3のまま保たれるか？
• RQ3 Chabauty法を用いて、このような曲線の有理点の数を有効に上限づけることができるか？
• RQ4 2-Selmer群のサイズは、Mordell-Weil群の平均ランクとどのように関係するか？
• RQ5 Tamagawa数とアデール的積分は、Selmer群の平均サイズの計算に果たす役割は何か？

主な発見

• 高さで順序付けられた、有理Weierstrass点をもつ超楕円曲線（genus $ n \geq 1 $）のヤコビアンの2-Selmer群の平均サイズは、正確に3である。
• この結果は、係数に関する有限個の合同条件で定義される任意の族においても一様に成り立つ。
• 2-Selmer群の平均2-ランクは$ 3/2 $以下であり、これはMordell-Weil群の平均ランクが$ 3/2 $以下であることを示唆する。
• 有理Weierstrass点をもつ超楕円曲線（genus $ n \geq 3 $）の大多数について、有理点の数は20未満である。
• 任意の有限個の場所について、非自明な2-Selmer元がアデール積$ \prod_{\nu} \mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu)/2\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu) $において等分布していることが示された。
• アデール体積公式$ \mathrm{vol}(V(\mathbb{A})_{<X}/G(\mathbb{Q})) = 2 \cdot \mathrm{vol}(S(\mathbb{A})_{<X}) $は、平均サイズのグローバル計算の根拠となっている。