[論文レビュー] The average size of the 5-Selmer group of elliptic curves is 6, and the average rank is less than 1

Manjul Bhargava, Arul Shankar|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の5-Selmer群の平均サイズがちょうど6であることを証明し、Poonen–Rainesのヒューリスティックの特別な場合を確認した。この結果と、根数の新しい等分布結果を組み合わせることで、ℚ上の楕円曲線の平均ランクが0.885未満であることを示し、少なくとも83.75％がランク0または1であり、少なくとも20.62％がランク0であることを示した。

ABSTRACT

In this article, we prove that the average rank of elliptic curves over $\mathbb{Q}$, when ordered by height, is less than $1$ (in fact, less than $.885$). As a consequence of our methods, we also prove that at least four fifths of all elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank either 0 or 1; furthermore, at least one fifth of all elliptic curves in fact have rank 0. The primary ingredient in the proofs of these theorems is a determination of the average size of the $5$-Selmer group of elliptic curves over $\mathbb{Q}$; we prove that this average size is $6$. Another key ingredient is a new lower bound on the equidistribution of root numbers of elliptic curves; we prove that there is a family of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ having density at least $55\%$ for which the root number is equidistributed.

研究の動機と目的

• ℚ上の楕円曲線の高さで順序付けられた場合の5-Selmer群の平均サイズを特定すること。
• ℚ上の楕円曲線の平均ランクに対する上界を確立し、それが1未満であることを証明すること。
• 正の密度を占める楕円曲線がランク0または1であることを示し、その中でランク0を占める割合が顕著であることを示すこと。
• p=5の場合のPoonen–Rainesのヒューリスティックの特別な場合を確認すること。このヒューリスティックは、平均p-Selmer群サイズがp+1であると予測する。
• 大規模な楕円曲線の族における根数の等分布を証明し、これによりSelmerランクとランク分布の境界を得ること。

提案手法

• 幾何的モデルを用いた1種の曲線のジェノス1曲線の局所的可解な5被覆を介して、5-Selmer群の要素をパラメトライズする。
• 整数係数の2次形式と不変量理論を用いて5被覆をパラメトライズし、合同族全体にわたる5-Selmer要素を一様に数える。
• 任意の合同族において、5-Selmer群の平均サイズが、条件に依存せず常に6であることを利用する。
• Dokchitser–Dokchitserの定理（根数と5-Selmerランクの偶奇の関係）を用い、根数の等分布とSelmerランクの境界を結びつける。
• 密度が55.01％以上の族において、5-Selmer群の平均サイズと根数の等分布を組み合わせ、重み付き平均を用いて平均ランクを境界づける。
• 5-Selmer群サイズと根数の偶奇に関する不等式制約を適用し、ランク0または1をとる曲線の密度の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の5-Selmer群の平均サイズは何か？
• RQ2 同じ順序付けの下で、ℚ上の楕円曲線の平均ランクは何か？また、上界を示せるか？
• RQ3 ℚ上の楕円曲線のうち、ランク0または1をとる割合は何か？また、ランク0をとる曲線の最小密度は何か？
• RQ4 大規模な楕円曲線族における根数の等分布は、平均5-Selmerランクの境界を意味するか？
• RQ5 5-Selmer群の平均サイズが6であることは、p=5におけるPoonen–Rainesのヒューリスティックを確認するか？

主な発見

• 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の5-Selmer群の平均サイズは、ちょうど6である。
• ℚ上の楕円曲線の平均ランクは0.885未満であり、これは平均ランクが有限かつ1未満であることを示す初の非条件的証明である。
• 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の少なくとも83.75％がランク0または1である。
• ℚ上の楕円曲線の少なくとも20.62％がランク0であり、Tate–Shafarevich群の有限性を仮定すれば、少なくとも26.12％がランク1である。
• 係数AとBに関する有限個の合同条件で定義される任意の楕円曲線族において、5-Selmer群の平均サイズは6である。
• 根数が等分布（50％が+1、50％が−1）する楕円曲線族では、平均5-Selmerランク≤0.75であり、5-Selmerランクが0または1である曲線の密度は7/8以上である。