[論文レビュー] The axiomatic deduction of the quadratic Hencky strain energy by Heinrich Hencky

Patrizio Neff, Bernhard Eidel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 7被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、1928年に発表されたヘンクイの原論文における2次ヘンクイひずみエネルギーの公理的導出の忠実な英語翻訳および註記を提示する。回転不変性と一貫した応力-ひずみ関係を備えた非線形弾性理論の基礎的枠組みを確立するため、対数ひずみテンソルと有限変形における重ね合わせの原理に基づく変分的アプローチを用いて、ヘンクイは対数ひずみの2次関数としてのひずみエネルギー関数を導出する。

ABSTRACT

The introduction of the quadratic Hencky strain energy based on the logarithmic strain tensor log V is a milestone in the development of nonlinear elasticity theory in the first half of the 20th century. Since the original manuscripts are written in German, they are not easily accessible today. However, we believe that the deductive approach taken by Hencky deserves to be rediscovered today. In this work we have gathered parts of the original contributions "Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen", "Welche Umstände bedingen die Verfestigung bei der bildsamen Verformung von festen isotropen Körpern?" and "Das Superpositionsgesetz eines endlich deformierten relaxationsfähigen elastischen Kontinuums und seine Bedeutung für eine exakte Ableitung der Gleichungen für die zähe Flüssigkeit in der Eulerschen Form" which center around this deductive approach. We tried to provide, for the first time, a faithful translation into English. All footnotes are our addition.

研究の動機と目的

• ドイツ語で書かれたまま未だアクセス困難なヘンクイの1928年における2次ヘンクイひずみエネルギーの公理的導出を回復し、翻訳すること。
• 非線形弾性における2次ヘンクイエネルギー・モデルの物理的および数学的基礎を明確にすること。
• 有限変形における重ね合わせの原理と整合するひずみエネルギー関数の整合性を示すこと。
• 対数ひずみテンソルおよび変形速度場を用いた、不変性に基づく厳密なひずみエネルギーの導出を実施すること。
• 有限弾性における2次ヘンクイエネルギーを、最小限で物理的に整合性のあるモデルとして理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 変形速度テンソルおよび応力率に変分原理を適用することで、回転不変性を保証したひずみエネルギー関数を導出する。
• 主伸縮率を用いて対数ひずみテンソルを導入し、ひずみ尺度を $ e_i = 1 - 1/\lambda_i $ と定義する。ここで $ \lambda_i $ は主伸縮率を表す。
• 回転する材料座標系における応力テンソルの時間微分を考察することで、スピンテンソルを介してコリオリ項を組み込むことにより、有限変形における重ね合わせの原理を適用する。
• ひずみテンソルを変数とする応力テンソルのべき級数展開を用いて、微小摂動における線形化された重ね合わせ則を導出する。
• 任意の有限変形に対して有効である、応力の時間変化率と変形速度テンソルおよびひずみテンソルを関連付ける式 (8b) を導出する。
• 式 (8c) の級数展開を用いて、応力テンソルの不変量を用いた閉形式のひずみエネルギー表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験的フィッティングに依存せずに、第一原理から2次ヘンクイひずみエネルギーをどのように導出できるか。
• RQ2 回転不変性および有限変形における重ね合わせの原理と整合するための、正しいひずみエネルギー関数の数学的形は何か。
• RQ3 なぜ対数ひずみテンソルが有限弾性における適切な測度であるのか。また、これは理想弾性体の物理的挙動とどのように関係するか。
• RQ4 有限弾性の文脈において、応力と変形の線形重ね合わせ則が成り立つ条件は何か。
• RQ5 ひずみエネルギー関数を応力テンソルのべき級数としてどのように表現できるか。また、2次の項の意味は何か。

主な発見

• ひずみエネルギー関数は、対数ひずみテンソルの2次関数として導出され、回転不変性および重ね合わせの原理と整合する。
• 有限変形における重ね合わせ則は、べき級数（式 8b）の形で導出され、任意の変形サイズに対して有効である。
• ひずみテンソル $ e_{m n} $ は応力テンソル $ \sigma'_{m n} $ の級数として表現され、微小変形では2次の項が支配的寄与を示す。
• 導出過程から、2次ヘンクイエネルギー・モデルは、重ね合わせの原理および回転不変性を満たす最小限の整合的モデルであることが示された。
• 応力率方程式 (9a) および (9b) は微小摂動下で古典的な線形化形式に簡略化され、無限小弾性理論と整合していることが確認された。
• この手法により、最終式から変位場が完全に排除され、応力-ひずみ関係が変形速度および回転場のみに依存することを示した。