[論文レビュー] The Axiomatic Foundation of Space in GFO

Ringo Baumann, Heinrich Herre|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Semantic Web and Ontologies参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一階論理を用いて一般形式的本体論（GFO）における空間の公理的基盤を提示し、空間的領域、空間的部分、空間的境界、空間的一致の4つの原始的関係を用いて現象的空間を形式化する。この理論は、フランツ・ブレントノの哲学にインspiredされた$β$-理論（$\mathcal{BT}$）であり、空間的実体の厳密で論理的に一貫した枠組みを確立し、絶対的ブレントノ空間を理想極限的実体として構築する。

ABSTRACT

Space and time are basic categories of any top-level ontology. They are fundamental assumptions for the mode of existence of those individuals which are said to be in space and time. In the present paper the ontology of space in the General Formal Ontology (GFO) is expounded. This ontology is represented as a theory BT (Brentano Theory), which is specified by a set of axioms formalized in first-order logic. This theory uses four primitive relations: SReg(x) (x is space region), spart(x, y) (x is spatial part of y), sb(x, y) (x is spatial boundary of y), and scoinc(x, y) (x and y spatially coincide). This ontology is inspired by ideas of Franz Brentano. The investigation and exploration of Franz Brentano's ideas on space and time began about twenty years ago by work of R.M. Chisholm, B. Smith and A. Varzi. The present paper takes up this line of research and makes a further step in establishing an ontology of space which is based on rigorous logical methods and on principles of the new philosophical approach of integrative realism.

研究の動機と目的

• 一般形式的本体論（GFO）における空間の本体論を、厳密な公理的手法を用いて形式化すること。
• ブレントノの考え方に基づく一階論理に根ざした論理的理論（$\mathcal{BT}$）を構築し、空間的実体の直感的な構造を捉えること。
• 主観に依存する現象的空間（subject-dependent）と主観に依存しない拡張空間（subject-independent）を区別し、統合的実在論と整合させること。
• 上位本体論における空間的推論の形式的基盤を提供し、人工知能、知識表現、認知モデリングの応用を支援すること。
• 無限に拡大する空間的領域の鎖としての理論的極限としての絶対的ブレントノ空間の構築を検討し、すべての空間的実体を含むコンテナとして機能させること。

提案手法

• 4つの原始的関係を用いた空間の形式化：$SReg(x)$（$x$ は空間的領域である）、$spart(x,y)$（$x$ は $y$ の空間的部分である）、$sb(x,y)$（$x$ は $y$ の空間的境界である）、$scoinc(x,y)$（$x$ と $y$ は空間的に一致する）。
• $\mathcal{BT}$ を、空間のメアトポロジカル構造を捉える一階公理的体系として構築する。
• 無限の空間的領域の鎖の極限として絶対的ブレントノ空間（$\mathcal{ABS}$）を定義する。各領域が次の領域の真の部分である。
• メアトロジカル和の閉包を保証する公理と、空間的連続性および次元性（0次元から3次元の実体）を強制する公理を用いる。
• 物質的境界と空間的領域の間の占有関係を導入することで、純粋な空間的実体と物質的対象を区別する。
• 球（$ball(x)$）や立方体（$cube(x)$）といった追加の単項述語を導入し、メアトロジカル差の連結性といった直感的性質を捉える公理を設ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一階論理を用いて上位本体論における空間を形式的公理化することは可能か？ その際、直感的な空間的構造をどのように保つことができるか？
• RQ2 絶対的ブレントノ空間は理論的極限的実体としての論理的性質を有するか？ そして、増大する空間的領域の鎖からどのように構築されるか？
• RQ3 原始的関係 $SReg$、$spart$、$sb$、$scoinc$ は、空間のメアトポロジカル構造およびその境界をどのように捉えているか？
• RQ4 現象的空間（主観に依存）と拡張空間（主観に依存しない）の関係は何か？ そして、この理論ではどのように形式的に表現されているか？
• RQ5 球や立方体といった標準的な空間的形状は、どのようにしてメアトポロジカルフレームワーク内に形式的に導入され、特徴づけられるか？

主な発見

• $\mathcal{BT}$ は、ブレントノの哲学と統合的実在論に根ざした、現象的空間のカテゴリーを扱う整合的で一階論理に基づく公理的体系として提案される。
• 絶対的ブレントノ空間（$\mathcal{ABS}$）は、各領域が次の領域の真の部分である無限の空間的領域の鎖の理論的極限として構築され、$\mathcal{ABS}$ はすべての空間的領域を真の部分として含む。
• 理論は0次元（点）、1次元（線）、2次元（面）、3次元（領域）の4段階の空間的宇宙を支持する。低次元の実体と境界との間には繊細な区別がなされる。
• 理論が整合的であれば無決定的であるが、部分理論 $\mathcal{BT}(0)$、$\mathcal{BT}(1)$、$\mathcal{BT}(2)$ は決定可能であると想定され、一部の完全な特徴づけが可能（例：2つの端点を持つ線）である。
• トポイド内に存在するすべての球のメアトロジカル和は一意的ではない。同一の球を含む2つのトポイドが境界構造で異なる場合があるため、非自明なメアトロジカルな複雑性が示唆される。
• 球（$ball(x)$）や立方体（$cube(x)$）といった標準的形状を、公理（例：2つの球のメアトロジカル差の連結性）とともに導入することで、メアトポロジカルフレームワーク内での直感的な空間的形状の形式的モデリングが可能になる。