[論文レビュー] The $b$-branching problem in digraphs

Naonori Kakimura, Naoyuki Kamiyama+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、各頂点の入次数が b(v) 以下であることを許容する有向グラフにおける b-ブランチング問題を、次数制約付きマトロイドとスパarsityマトロイドの組み合わせとして、ブランチングの一般化として導入する。最大重み b-ブランチングのためのマルチフェーズグリーディアルゴリズムを提示し、互いに素な b-ブランチングのパッキング定理を証明することで、b-ブランチングポリトープの整数分解性を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the concept of $b$-branchings in digraphs, which is a generalization of branchings serving as a counterpart of $b$-matchings. Here $b$ is a positive integer vector on the vertex set of a digraph, and a $b$-branching is defined as a common independent set of two matroids defined by $b$: an arc set is a $b$-branching if it has at most $b(v)$ arcs sharing the terminal vertex $v$, and it is an independent set of a certain sparsity matroid defined by $b$. We demonstrate that $b$-branchings yield an appropriate generalization of branchings by extending several classical results on branchings. We first present a multi-phase greedy algorithm for finding a maximum-weight $b$-branching. We then prove a packing theorem extending Edmonds' disjoint branchings theorem, and provide a strongly polynomial algorithm for finding optimal disjoint $b$-branchings. As a consequence of the packing theorem, we prove the integer decomposition property of the $b$-branching polytope. Finally, we deal with a further generalization in which a matroid constraint is imposed on the $b(v)$ arcs sharing the terminal vertex $v$.

研究の動機と目的

• 各頂点の入次数を b(v) > 1 に制限できるように、古典的なブランチング問題を一般化すること。
• ブランチングの基本的結果（最大重みアルゴリズムや互いに素なパッキング定理など）を、この一般化された設定に拡張すること。
• b-ブランチングポリトープが整数分解性を有することを証明すること。
• 各頂点のインエッジ集合に任意のマトロイド制約を課すことで、モデルをさらに一般化すること。

提案手法

• b-ブランチングを、各部分集合 X ⊆ V に対して |F[X]| ≤ b(X) − 1 を満たすスパarsityマトロイド (Isp) と、次数制約付きマトロイド (Iin) の交差として定義する。
• 強成分で |F[X]| = b(X) を満たすものを逐次特定し、それらを収縮しながら、1つのマトロイドにおいて最適独立集合を反復的に探索するマルチフェーズグリーディアルゴリズムを構築する。
• 弧の重みが整数である場合に整数最適双対解を保つために、双対調整機構を用いる。
• ボトムアップの収縮・展開技術（バブルアルゴリズムに類似）を用い、完全な次数に達した強成分を収縮し、後で展開する。
• 各頂点のインエッジ集合に一様マトロイドの代わりに任意のマトロイドを導入することで、マトロイド制約付き b-ブランチングにアルゴリズムを拡張する。
• 互いに素な b-ブランチングのパッキング問題を、修正された弧集合と重みを持つ補助有向グラフ上での問題に還元する変換を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各頂点の入次数を b(v) > 1 に制限できるように最大重みブランチングアルゴリズムを一般化でき、かつ効率性と整数性を保てるか？
• RQ2 指定された入次数 d−_Bi(v) = bi(v) を満たす k 個の互いに素な b-ブランチングが存在するためのパッキング定理は存在するか？（エドモンズの互いに素なブランチング定理に類似した形で。）
• RQ3 b-ブランチングポリトープは整数分解性を有するか？
• RQ4 マルチフェーズグリーディアルゴリズムは、各頂点のインエッジ集合に任意のマトロイド制約が課された場合に拡張可能か？

主な発見

• 最大重み b-ブランチングのためのマルチフェーズグリーディアルゴリズムは O(|V||A|) 時間で実行され、重みが整数の場合に整数最適双対解を構築する。
• 指定された入次数 d−_Bi(v) = bi(v) を満たす k 個の互いに素な b-ブランチングのパッキング定理が確立され、エドモンズの互いに素なブランチング定理が一般化される。
• b-ブランチングポリトープは整数分解性を有する。これはパッキング定理と補助有向グラフへの変換により証明される。
• 最適な互いに素な b-ブランチングを求めるアルゴリズムは強多項式時間で実行可能である。
• マルチフェーズグリーディアルゴリズムは、各頂点のインエッジ集合が任意のマトロイド（ランク b(v)）で制約されるマトロイド制約付き b-ブランチングに拡張可能である。
• b-ブランチング問題が二部グラフにおける tractable U-feasible t-マッチング問題の特殊ケースであることが示された。