[論文レビュー] The B-Exponential Map: A Generalization of the Logistic Map, and Its Applications In Generating Pseudo-random Numbers

Mahesh C. Shastry, Nithin Nagaraj+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2006

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ロジスティック写像を一般化した1次元のカオス的写像、B-指数写像を導入し、異なるB値の軌道をカオス的に飛び越えることで、擬似乱数生成器BEACHを提案する。すべてのB ≥ e⁻⁴に対して強靭なカオスを示し、NISTおよびDiehardの統計的ランダムネステストを高い信頼性で通過しており、暗号的応用に適している。

ABSTRACT

A 1-dimensional generalization of the well known Logistic Map is proposed. The proposed family of maps is referred to as the B-Exponential Map. The dynamics of this map are analyzed and found to have interesting properties. In particular, the B-Exponential Map exhibits robust chaos for all real values of the parameter B >= e^(-4). We then propose a pseudo-random number generator based on the B-Exponential Map by chaotically hopping between different trajectories for different values of B. We call this BEACH (B-Exponential All-Chaotic Map Hopping) pseudo-random number generator. BEACH successfully passes stringent statistical randomness tests such as ENT, NIST and Diehard. An implementation of BEACH is also outlined.

研究の動機と目的

• 広いパrameter範囲で強靭なカオスを示す新しいカオス的写像を開発すること。
• カオス的システムの決定論的ではあるがランダムに見える振る舞いを活用し、高品質な擬似乱数を生成すること。
• NISTやDiehardのような厳密な統計的テストを、長大なシーケンスに対しても通過できるPRNGを設計すること。
• 強靭なカオスが暗号的PRNG設計にどのように有用であるかを検討すること。
• BEACH生成器に基づく安全なストリーム暗号の基盤を築くこと。

提案手法

• B-指数写像は、x ∈ [0,1] および B > 0 に対して、GL(B,x) = [B - xB^x - (1-x)B^(1-x)] / (B - √B) として定義される。
• B ≥ e⁻⁴ の場合、写像がロジスティック写像と位相的同相であることが示され、同等のカオス的ダイナミクスを有することが保証される。
• リャプノフ指数解析により強靭なカオスが確立され、すべてのB ≥ e⁻⁴ に対してリャプノフ指数がln(2)に一定に保たれる。
• BEACH PRNGは、異なるB値の間をカオス的に飛び越えることで、長周期のシーケンスを生成する。
• ENT、NIST、Diehardのテストスイートを用いて、最大10Gbの長さのシーケンスに対して統計的検証を実施した。
• 初期条件とパrameterの飛び越えを用いることで、出力の予測不能性と一様性を保証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 B-指数写像は、広い範囲のB値において強靭なカオスを示すか？
• RQ2 B-指数写像の軌道をカオス的に飛び越えることで生成されるPRNGは、厳密な統計的ランダムネステストに合格できるか？
• RQ3 B ≥ e⁻⁴ の場合、B-指数写像はロジスティック写像と位相的同相か？
• RQ4 B-指数写像のパrameter空間全域におけるリャプノフ指数の挙動はいかなるものか？
• RQ5 BEACH生成器は、極めて長いシーケンスに対しても統計的ランダムネスを維持できるか？

主な発見

• B-指数写像は、すべての実数B ≥ e⁻⁴ において強靭なカオスを示し、周期的ウィンドウは観測されなかった。
• B-指数写像のリャプノフ指数は、すべてのB ≥ e⁻⁴ において一定にln(2)に保たれ、強いカオス的挙動を示している。
• BEACHはNIST統計的テストスイートの15のテストすべてに合格し、p値が0.001以上に一様に分布しており、ランダムネスの99％の信頼性が裏付けられた。
• BEACHは、10本の10億ビットのストリームを用いて、Diehardテストスイートの18のテストすべてに合格し、6小数桁までp値が0または1に等しくなかった。
• 統計的分析により、p値のp値が一様に分布していることが確認され、BEACH出力のランダムネスが検証された。
• 10ギガビットに達する長大なシーケンスに対しても、統計的ランダムネスが維持されることを確認し、暗号的応用に適していることが裏付けられた。