[論文レビュー] The Backwards Arrow of Time of the Coherently Bayesian Statistical Mechanic

Cosma Rohilla Shalizi|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2004

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ベイズ確率更新と熱力学的エントロピーを情報理論的不確実性として特定することを組み合わせると、第二法則に反する逆向きの時間の矢が生じることを示している。主な結果は、標準的な仮定のもとで、エントロピーは平均して減少することであり、物理的ダイナミクスを拒否するか、非一貫性のある推論か、熱力学的エントロピーとベイズ的エントロピーの等価性を放棄するかの選択を強いられる。

ABSTRACT

Many physicists think that the maximum entropy formalism is a straightforward application of Bayesian statistical ideas to statistical mechanics. Some even say that statistical mechanics is just the general Bayesian logic of inductive inference applied to large mechanical systems. This approach identifies thermodynamic entropy with the information-theoretic uncertainty of an (ideal) observer's subjective distribution over a system's microstates. In this brief note, I show that this postulate, plus the standard Bayesian procedure for updating probabilities, implies that the entropy of a classical system is monotonically non-increasing on the average -- the Bayesian statistical mechanic's arrow of time points backwards. Avoiding this unphysical conclusion requires rejecting the ordinary equations of motion, or practicing an incoherent form of statistical inference, or rejecting the identification of uncertainty and thermodynamic entropy.

研究の動機と目的

• ベイズ的解釈の統計力学が第二法則熱力学と整合するかを調査すること。
• 熱力学的エントロピーを主観的不確実性と同一視した場合に生じる非物理的な逆向きの時間の矢の原因を特定すること。
• 最大エントロピー原理またはベイズ更新が、正しい熱力学的時間の矢を保つのに役立つかを評価すること。
• 可逆的ダイナミクス、ベイズ更新、エントロピーを不確実性と同一視するという標準的仮定が、物理理論において一貫して共存可能かどうかを特定すること。

提案手法

• 位相空間上の可逆な進化作用素 T を仮定し、決定論的古典的ダイナミクスをモデル化する。
• ベイズの定理を用いて、微状態上の主観的確率分布を更新するベイズ更新を適用する。
• 観測者の主観的分布のシャノンエントロピー H[F_t] と熱力学的エントロピー S_t を同一視する。
• コプマン作用素 U を用いて、観測可能量の時間発展を表現し、分布の進化と観測可能量の変化を結びつける。
• 複数の時刻にわたる制約に対して最大エントロピー原理を適用し、エントロピーの減少を示す。
• ベイズ更新におけるエントロピーの長期的挙動を分析し、時間経過で平均エントロピーが非増加であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピーを主観的不確実性として扱う標準的なベイズ的統計力学の枠組みは、一貫した熱力学的時間の矢を生じるか？
• RQ2 可逆的ダイナミクスとエントロピー＝不確実性の同一視の下で、ベイズの定理による更新が系のエントロピーにどのような影響を与えるか？
• RQ3 時間的制約がある系に対して最大エントロピー原理を一貫して適用できるか、時間の矢を逆転させないか？
• RQ4 ベイズ枠組みを維持しつつ、物理的要請（エントロピーが時間とともに増加すること）を満たすことは可能か？
• RQ5 ベイズ的統計力学の枠組みにおいて、熱力学的エントロピーと情報理論的エントロピーの同一視を放棄した場合の結果は何か？

主な発見

• 標準的仮定（可逆的ダイナミクス、ベイズ更新、エントロピーを主観的不確実性と同一視）のもとでは、系の平均エントロピーは時間経過で非増加であり、逆向きの時間の矢を示唆する。
• 複数の時刻にわたる制約に対して最大エントロピー原理を適用しても、一貫性を保ったとしてもエントロピーは減少する。
• 逆向きの時間の矢を回避する唯一の方法は、熱力学的エントロピーを観測者の分布のシャノンエントロピーと同一視することを放棄することである。
• ベイズ更新や最大エントロピー原理を放棄すると、過去のデータを意図的に無視する必要が生じるため、非一貫性のある統計的推論となる。
• この結果は、計算能力に制限された観測者が過去のデータを無視することで、誤ってエントロピーの減少を推論する可能性があることを示唆し、マクスウェルの悪魔に類似している。
• 論文は、仮定 III（エントロピー = 不確実性）を放棄することが、物理的時間の矢を保つために最も妥当な道筋であると結論づける。