[論文レビュー] The Bang Calculus and the Two Girard's Translations

Giulio Guerrieri, Giulio Manzonetto|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Logic, programming, and type systems被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、明示的なボックス演算子を用いて、呼出しの順序を名前による（CbN）および値による（CbV）ラムダ計算を統合する枠組みとしてのバン計算を導入する。これは構文的および意味論的比較を可能にする。また、ジラールの直感的含意を線形論理に翻訳する2つの翻訳（·）N および（·）V が、それぞれ CbN および CbV 評価戦略に正確に対応することを示し、バン計算が CbV 片段への制限によって CbN 理論的概念（例：ボーム木、完全抽象性）を CbV へ一般化するための標準的枠組みを提供することを示している。

ABSTRACT

We study the two Girard's translations of intuitionistic implication into linear logic by exploiting the bang calculus, a paradigmatic functional language with an explicit box-operator that allows both call-by-name and call-by-value lambda-calculi to be encoded in. We investigate how the bang calculus subsumes both call-by-name and call-by-value lambda-calculi from a syntactic and a semantic viewpoint.

研究の動機と目的

• 呼出しの順序を名前による（CbN）および値による（CbV）ラムダ計算を1つの形式的枠組みで統一すること。
• ジラールの直感的含意を線形論理に翻訳する2つの翻訳（·）N および（·）V が CbN および CbV 評価メカニズムにどのように対応するかを調査すること。
• バン計算が明示的なボックス演算子を備えることで、構文的にも意味論的にも CbN および CbV 計算を包含することを示すこと。
• バン計算の CbV 片段への制限によって、well-developed な CbN 理論的概念（例：可解性、ボーム木、完全抽象性）を CbV の文脈へ一般化できることを示すこと。
• 両者のパラダイムにおける操作的および意味論的意味論を一様に研究できる標準的枠組みを提供し、二度同じものを開発する必要を減らすこと。

提案手法

• バン計算は明示的なボックス演算子を備えた関数型言語として用いられ、CbN および CbV ラムダ計算を符号化する。
• 論文はジラールの2つの翻訳を分析する：(·)N は A⇒B を !A⊸B にマッピングし、(·)V は A⇒B を !(A⊸B) にマッピングする。これらはそれぞれ CbN および CbV 評価に対応する。
• 構文的包含関係は、β-還元を保存する翻訳を通じて示される：(·)N は線形論理の証明ネットにおけるカット除去によって CbN をシミュレートし、(·)V は CbV をシミュレートする。
• 意味論的包含関係は関係的モデルを用いて確立される：論文は2つの型システム ⊢v および ⊢! を定義し、すべての項 t に対して |t|v⊆JtvK が成り立つことを証明する。これにより、CbV 解釈がバン計算解釈の精錬版であることが示される。
• 論文は、集合と関係に基づく関係的モデル U を用い、型を多重集合として、関数型を順序対として解釈することで、2つの解釈を比較する。
• 論文は、CbV 解釈 |t|v が、JtvK から反復的に射影 pr1 を適用することで回復可能であると予想し、CbV 意味論の圏論的再構成を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バン計算はどのようにして CbN および CbV ラムダ計算の両方を統合的枠組みとして機能するか？
• RQ2 ジラールの2つの翻訳（·）N および（·）V と CbN および CbV 評価戦略との間の正確な構文的および意味論的対応関係は何か？
• RQ3 可解性、ボーム木、完全抽象性といった CbN 理論的概念が、バン計算を通じて CbV へ一般化可能か？
• RQ4 一般には |t|v と JtvK が異なるのはなぜで、それらの関係は何か？
• RQ5 射影のような圏論的演算を用いて、CbV 解釈 |t|v を JtvK から体系的に回復できるか？

主な発見

• バン計算は構文的に CbN および CbV ラムダ計算を包含する。2つの評価戦略は、同じ計算機械で異なる型制約を用いることで符号化可能である。
• ジラールの2つの翻訳（·）N および（·）V は、それぞれ CbN および CbV 評価メカニズムに正確に対応する。ここで、(·)N はすべての引数をボックス化し、(·)V は値のみをボックス化する。
• 関係的モデルにおいて、すべての項 t に対して CbV 解釈 |t|v はバン計算解釈 JtvK の部分集合であるが、一般には等しくない。
• 反例 s = λxxx により、|s|v ≠ JsvK であることが示され、CbV 解釈がバン計算解釈よりも厳密に制限されていることが確認される。
• 論文は、項の構造に沿って反復的に射影 pr1 を適用することで、|t|v が JtvK から回復可能であると予想し、CbV 意味論の圏論的再構成を示唆する。
• バン計算は、CbN 理論的概念を一般化し、その CbV 版を CbV 片段への制限によって得られる標準的枠組みを提供する。