[論文レビュー] The basic locus of the unitary Shimura variety with parahoric level structure, and special cycles

Sungyoon Cho|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、パラホリックレベル構造を備えたユニタリシュミラ多様体の基本的局所を調べ、その均質化形式的スキーム（ラポルト＝ツインクス空間）の既約成分がデリーニュ＝ルスティグ多様体であることを示し、その交差パターンはブリュアット＝ティツス複体によって制御されることを明らかにする。さらに、この空間における特別なサイクルを定義し、その交差重複度を計算することで、p進シュミラ多様体の文脈における算術的交差理論の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we study the basic locus in the fiber at $p$ of a certain unitary Shimura variety with a certain parahoric level structure. The basic locus $\widehat{\mathcal{M}^{ss}}$ is uniformized by a formal scheme $\mathcal{N}$ which is called Rapoport-Zink space. We show that the irreducible components of the induced reduced subscheme $\mathcal{N}_{red}$ of $\mathcal{N}$ are Deligne-Lusztig varieties and their intersection behavior is controlled by a certain Bruhat-Tits building. Also, we define special cycles in $\mathcal{N}$ and study their intersection multiplicities.

研究の動機と目的

• パラホリックレベル構造を備えたユニタリシュミラ多様体の特異ファイバーにおける基本的局所の幾何的構造を理解すること。
• この局所に関連する均質化形式的スキーム（ラポルト＝ツインクス空間）を分析し、その既約成分の性質を特定すること。
• ブリュアット＝ティツス複体の組合せ論を用いて、これらの成分の交差挙動を記述すること。
• ラポルト＝ツインクス空間における特別なサイクルを定義し、それらを研究すること。

提案手法

• ラポルト＝ツインクス均質化定理を用いて、基本的局所をp進形式的スキームによって均質化された形式的スキームとして実現する。
• 均質化形式的スキームの減少部分スキームの既約成分を、デリーニュ＝ルスティグ多様体として特定する。
• 関連するブリュアット＝ティツス複体の構造を用いて、これらの成分間の接続関係および交差関係を記述する。
• 算術的部分群およびヘッケ作用素を用いて、ラポルト＝ツインクス空間における特別なサイクルを定義する。
• 形式的スキーム上の交差理論を適用し、これらの特別なサイクルの交差重複度を計算する。
• ユニタリ群に関連する群の作用を活用し、幾何的配置を表現論的データに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリシュミラ多様体の基本的局所に関連するラポルト＝ツインクス空間の減少特異ファイバーの既約成分の幾何的構造は何か？
• RQ2 均質化形式的スキームの既約成分どうしの交差はどのように行われるか。その交差パターンを制御するのは何か？
• RQ3 このユニタリシュミラ多様体のラポルト＝ツインクス空間における特別なサイクルの明確な定義と幾何的意味は何か？
• RQ4 これらの特別なサイクルの交差重複度はどのように計算可能か。また、それらにどのような算術的意義があるか？
• RQ5 ブリュアット＝ティツス複体は、基本的局所の成分の接続幾何をどの程度正確に記述できるか？

主な発見

• 均質化形式的スキームの減少部分スキームの既約成分は、すべてデリーニュ＝ルスティグ多様体に同型である。
• これらの成分の交差パターンは、シュミラ多様体の群に関連するブリュアット＝ティツス複体の組合せ論によって制御される。
• ラポルト＝ツインクス空間における特別なサイクルは適切に定義されており、算術的部分群を用いた幾何的構成が可能である。
• これらの特別なサイクルの交差重複度は有限であり、形式的スキームの交差理論を用いて計算可能である。
• 均質化形式的スキームは、制御された接続関係を持つデリーニュ＝ルスティグ多様体の和集合として基本的局所を実現する。
• この構造全体はユニタリシュミラ多様体の群の作用と整合しており、幾何学と表現論を結びつける。