[論文レビュー] The Basins of Attraction in a Modified May-Holling-Tanner Predator-Prey Model with Allee Effect

Claudio Arancibia–Ibarra|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形機能反応、被捕食者におけるアリーフェクト、捕食者における代替食料源を有する修正されたMay–Holling–Tanner捕食者-被捕食者モデルを分析する。力学系理論を用いて、共存、振動、絶滅を分ける分離曲線および吸引域を同定し、鞍節・ホップ・ボガダンォフ＝ターケンス分岐の存在を証明する。強いアリーフェクトは共存領域を縮小し、パラメータ変動に対する感受性を高めることを示している。

ABSTRACT

We analyse a modified May-Holling-Tanner predator-prey model considering an Allee effect in the prey and alternative food sources for predator. Additionally, the predation functional response or predation consumption rate is linear. The extended model exhibits rich dynamics and we prove the existence of separatrices in the phase plane separating basins of attraction related to oscillation, co-existence and extinction of the predator-prey population. We also show the existence of a homoclinic curve that degenerates to form a limit cycle and discuss numerous potential bifurcations such as saddle-node, Hopf, and Bogadonov-Takens bifurcations. We use simulations to illustrate the behaviour of the model.

研究の動機と目的

• 強いか弱いかのアリーフェクトが修正されたHolling–Tannerモデルにおける捕食者-被捕食者ダイナミクスに与える影響を調査すること。
• 捕食者の代替食料源がシステムの安定性および共存に与える影響を分析すること。
• パラメータ変動が吸引域の形状をどのように規定し、長期的個体群結果を決定づけるかを調査すること。
• 鞍節・ホップ・ボガダンォフ–ターケンス分岐などの分岐を同定・特徴づけること。
• アリーフェクト閾値および捕食者の増殖率が共存吸引域のサイズと構造に与える影響を特定すること。

提案手法

• アリーフェクトおよび代替食料を有する元のモデルの解析を簡素化するため、微分同相写像を用いて位相的に同等の系を導出する。
• ヤコビ行列のトレースを用いて平衡点を解析し、安定性を評価する。特に $P_3$、$P_4$、$P_2$ に注目する。
• 分離曲線は、特に $P_1$ の安定多様体として特定され、吸引域を分割する。
• 数値シミュレーションを用いて吸引域を可視化し、パラメータを変化させた際のダイナミクスの遷移を示す。
• 分岐図およびパラメータスイープを用いて、鞍節・ホップ・ボガダンォフ–ターケンス分岐の位置を特定する。
• モデルは $S = s/(Kr)$、$M$、$Q$、$C$ を変化させることで解析され、感度および共存領域の評価がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いアリーフェクトの導入は、修正されたMay–Holling–Tannerモデルにおける吸引域にどのように影響するか？
• RQ2 $P_1$ の安定多様体が、共存や絶滅といった長期的結果を分ける役割を果たすか？
• RQ3 どのようなパラメータ条件下で系が鞍節分岐を経験するか？ また、これにより平衡点構造にどのような影響があるか？
• RQ4 捕食者の内生的増殖率 $s$ もしくは被捕食者の環境収容力 $K$ の変化が、共存吸引域のサイズに与える影響は何か？
• RQ5 アリーフェクト閾値 $m$ が捕食者-被捕食者共存の安定性および持続可能性に与える影響は何か？

主な発見

• S < S_k のとき、平衡点 $(0, C)$ はグローバルに吸引的であり、これは被捕食者が絶滅し、捕食者が代替食料により存続することを示す。
• S_k < S < S_k^* のとき、平衡点 $P_3$ を取り囲む安定な極小周期軌道が存在し、持続的な個体群の振動を示す。
• S > S_k^* のとき、平衡点 $P_3$ は安定となり、振動を伴わない共存を示す。
• アリーフェクトは正の平衡点の吸引域を縮小し、特に強いアリーフェクト条件下では絶滅リスクが高まる。
• 判別式 $\Delta = 0$ のとき、鞍節分岐が発生し、平衡点の生成または消滅が引き起こされる。
• S = f(E) のとき、へそ点でボガダンォフ–ターケンス分岐が発生し、複数の分岐を伴う複雑なダイナミクス遷移を示す。