[論文レビュー] The Bass and topological stable ranks for algebras of almost periodic functions on the real line

Raymond Mortini, Rudolf Rupp|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、実数直線上のほぼ周期的関数の代数において、Bohrスペクトルが $Ω$ の部分半群に含まれる場合、$Ω$ が生成する $ℚ$-ベクトル空間の次元が無限大である限り、Bass安定階数およびトポロジカル安定階数が無限大であることを確立する。証明は、Kroneckerの近似定理と、三角多項式によるほぼ周期的関数の近似を用い、Suárezの結果（完全なほぼ周期的代数 $ΔΠ$ における無限大安定階数）を $ΔΠ^+$ やその他の広範な部分代数へと拡張し、特定の $N$-重が可逆 $N$-重によって近似できないことを示し、それによって無限大安定階数が得られることを示している。

ABSTRACT

Let $\\Lambda$ be a sub-semigroup of the reals. We show that the Bass and topological stable ranks of the algebras ${\ m AP}_\\Lambda=\\{f\\in {\ m AP}: \\sigma(f)\\subseteq \\Lambda\\}$ of almost periodic functions on the real line and with Bohr spectrum in $\\Lambda$ are infinite whenever the algebraic dimension of the $\\mathbb Q$-vector space generated by $\\Lambda$ is infinite. This extends Su\\'arez's result for ${\ m AP}_\\mathbb R={\ m AP}$. Also considered are general subalgebras of AP.

研究の動機と目的

• 完全なほぼ周期的代数 $ΔΠ$ におけるSuárezの結果（無限大安定階数）を、スペクトルが $Ω \subseteq \mathbb{R}$ の部分半群に含まれる部分代数 $ΔΠ_\Lambda$ へと拡張すること。
• 代数 $ΔΠ_\Lambda$ のBassおよびトポロジカル安定階数が無限大または有限である条件を特定すること、特に $Ω$ の $ℚ$-線形包の代数的次元に基づいて行う。
• $ΔΠ^+$（スペクトルが $ℝ^+$ に含まれるほぼ周期的関数からなる部分代数）の安定階数を、コロナ定理や $C^*$-代数の双対性に依存しない方法で分析すること。
• 代数 $ΔΠ$ の部分代数における安定階数を決定する一般枠組みを提供すること。具体的には、可逆なものに近似できない明示的な非可約 $N$-重を構成する。

提案手法

• 連続的および離散的両形式のKroneckerの近似定理を用いて、$N$-トーラスにおける特定の指数的軌道の稠密性を確立する。
• Fourier-Bohr級数表現を適用し、スペクトルを制御可能な一般化された三角多項式によるほぼ周期的関数の一様近似を実行する。
• 代数 $A$ において、$N$-重 $(F_1, \dots, F_N, G)$ が可逆であるが $ΔΠ$ 内では非可約であるような関数 $G$ を構成する技法を用い、Bass安定階数が無限大であることを示す。
• 上半平面における積分推定を用いて、$ΔΠ^+$ に属する関数の正則拡張の境界値が $ℝ^+$ にスペクトルを持つことを示し、$ΔΠ^+$ が上半平面 $ℂ^+$ に有界正則拡張を持つほぼ周期的関数の集合と一致することを確立する。
• 背理法を用いて、特定の $N$-重 $(F_1, \dots, F_N)$ が代数内で可逆 $N$-重によって近似できないことを示し、$ΔΠ$ 内での関連する $N$-重の非可約性を活用する。
• 線形独立な $λ_j$ を用いて、$F_j(t) = e^{i\lambda_{2j-1}t} + e^{i\lambda_{2j}t} - 1$ を満たす関数を含む、$ΔΠ$ の一般部分代数 $A$ を考察し、そのBass安定階数が無限大であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル $\Lambda \subseteq \mathbb{R}$ がどのような条件下で、代数 $\mathrm{AP}_\Lambda$ のBass安定階数が無限大になるか？
• RQ2 $C^*$-代数におけるBassおよびトポロジカル安定階数の関係を示すRieffelの結果に依存せずに、$ΔΠ^+$ の安定階数を特定することは可能か？
• RQ3 代数 $ΔΠ$ の部分代数において、可逆 $N$-重によって近似できない明示的な $N$-重を構成することは可能か？ これにより、無限大安定階数が証明される。
• RQ4 $\Lambda$ の $\mathbb{Q}$-ベクトル空間次元は、代数 $\mathrm{AP}_\Lambda$ の安定階数にどのように影響するか？
• RQ5 Wiener型代数 $\mathrm{APW}^+$ と $\mathrm{AP}^+$ の安定階数の関係は何か？

主な発見

• 代数 $\mathrm{AP}_\Lambda$ のBassおよびトポロジカル安定階数が無限大であるための必要十分条件は、$\Lambda$ が生成する $\mathbb{Q}$-ベクトル空間の次元が無限大であることである。
• $\mathrm{AP}^+$ の安定階数は無限大であり、これは $C^*$-代数に関するRieffelの結果に依存しない直接的証明により得られている。
• $F_j(t) = e^{i\lambda_{2j-1}t} + e^{i\lambda_{2j}t} - 1$ で定義される $N$-重 $(F_1, \dots, F_N)$ は、$1$ とすべての $F_j$ を含む任意の部分代数 $A \subseteq \mathrm{AP}$ において、可逆 $N$-重によって近似できない。これにより、このような代数のBass安定階数が無限大であることが示される。
• $\mathrm{AP}^+$ は、上半平面 $\mathbb{C}^+$ に有界正則拡張を持つほぼ周期的関数の集合と一致する。
• $\mathrm{APW}^+$ の安定階数は無限大であり、これは $\mathrm{AP}^+$ の部分代数であり、同じスペクトル的および解析的構造を持つためである。
• 任意の $N$ に対して、$1$ と関数 $F_j$ で生成される代数 $A$ のBass安定階数は $N+1$ 以上である。$N$ が任意に取り得るため、$\mathrm{bsr}(A) = \infty$ である。