[論文レビュー] The Batchelor spectrum of passive scalar turbulence in stochastic fluid mechanics

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、1959年にバッチェラーが予言した乱流中の受動スカラー スペクトルについて、最初の厳密な数学的証明を提供している。$κ \to 0$ の拡散率が小さい極限において、2次元および3次元の確率的ナビエ＝ストークス流れにおける受動スカラーの累積パワー スペクトルが、小スケールで $|k|^{-1}$ スケーリングに収束することを示している。この結果は、ラグランジュ的混沌とスカラー混合の定量的解析を通じて得られ、異常なフラックスを伴い、予測されたバッチェラー スペクトルを持つ $H^{-\epsilon}$ における統計的に定常な弱解が得られる。

ABSTRACT

In 1959, Batchelor predicted that passive scalars advected in fluids at finite Reynolds number with small diffusivity $\kappa$ should display a $|k|^{-1}$ power spectrum over a small-scale inertial range in a statistically stationary experiment. This prediction has been experimentally and numerically tested extensively in the physics and engineering literature and is a core prediction of passive scalar turbulence. In this article we provide the first mathematically rigorous proof of Batchelor's prediction on the cumulative power spectrum in the $\kappa o 0$ limit. We consider fluids governed by the 2D Navier-Stokes equations and 3D hyperviscous Navier-Stokes equations in $\mathbb{T}^d$ forced by sufficiently regular, nondegenerate stochastic forcing at fixed (arbitrary) Reynolds number. The scalar is subjected to a smooth-in-space, white-in-time stochastic source, and evolves by advection-diffusion with diffusivity $\kappa > 0$. Our results rely on the quantitative understanding of Lagrangian chaos and passive scalar mixing established in our recent works. In the $\kappa o 0$ limit, we obtain statistically stationary, weak solutions in $H^{-\epsilon}$ to the stochastically-forced advection problem without diffusivity. These solutions are almost-surely not locally integrable functions, have a non-vanishing average anomalous flux, and satisfy the Batchelor spectrum at all sufficiently small scales. We also prove an Onsager-type criticality result which shows that no such dissipative, weak solutions with a little more regularity can exist.

研究の動機と目的

• 拡散率が小さい乱流における受動スカラーの $|k|^{-1}$ パワー スペクトルの予測を、数学的に厳密に証明すること。
• $\kappa \to 0$ の極限において、拡散率なしの広義解としての統計的に定常な弱解が $H^{-\epsilon}$ に存在することを確立すること。
• これらの解が、乱流によるスカラー輸送と整合する非ゼロの平均異常フラックスを示すことの証明。
• オングスラータイプの臨界性結果を証明し、$H^{-\epsilon}$ よりもやや高い正則性を持つような、そのような散乱型弱解が、$\kappa \to 0$ 極限で観察された異常フラックスを支えられないと示すこと。

提案手法

• 固定されたレイノルズ数で、非退化的かつ十分に滑らかな確率的外力によって駆動される2次元ナビエ＝ストークス方程式および3次元ハイパーレイノルズナビエ＝ストークス方程式の解析。
• 空間的に滑らかで、時間に白色雑音である確率的源によって駆動される、小さな拡散率 $\kappa > 0$ を持つ広義解方程式によるスカラーの時間発展の研究。
• 先行研究から得られたラグランジュ的混沌および受動スカラー混合に関する定量的結果を活用し、スカラー場の小スケール挙動を制御すること。
• 統計的定常性と弱解理論を用いて、$\kappa \to 0$ 極限における累積パワー スペクトルが $|k|^{-1}$ 形式に収束することを確立すること。
• $\kappa \to 0$ 極限における拡散率なしの極限方程式に対して、$H^{-\epsilon}$ における弱解の存在を導出し、それらがほとんど確実に局所可積分関数でないことを示すこと。
• 正則性が $H^{-\epsilon}$ よりも高い解が、$\kappa \to 0$ 極限で観察された異常フラックスを支えられないと示すことで、オングスラー型臨界性結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的ナビエ＝ストークス方程式に従う乱流中の受動スカラーについて、$\kappa \to 0$ 極限においてバッチェラーのスペクトル $|k|^{-1}$ が現れるか？
• RQ2 拡散率なしの広義問題の極限弱解の正則性および統計的構造は何か？
• RQ3 $\kappa \to 0$ 極限において、スカラー輸送の異常フラックスを厳密に確立できるか？
• RQ4 エネルギー保存に関するオングスラーの予想と同様に、散乱型弱解が観察された異常フラックスを支えられる正則性の臨界閾値は存在するか？

主な発見

• $\kappa \to 0$ 極限において、受動スカラーの累積パワー スペクトルは、すべての十分に小さなスケールでバッチェラーが予測した $|k|^{-1}$ スケーリングに収束する。
• 極限弱解は $H^{-\epsilon}$ に存在し、ほとんど確実に局所可積分関数でないため、小スケールで特異な挙動を示す。
• これらの解は非ゼロの平均異常フラックスを示し、拡散率が存在しない状況下でも乱流によるスカラー輸送が確認される。
• 解は統計的に定常であり、$\kappa > 0$ が小さいが正の値である広義解方程式の解の極限として得られる。
• オングスラー型臨界性結果が証明され、$H^{-\epsilon}$ よりも高い正則性を持つ散乱型弱解は、極限で観察された異常フラックスを支えられないことが示された。
• 結果は、非退化的かつ十分に滑らかな確率的外力の下で、2次元ナビエ＝ストークス方程式および3次元ハイパーレイノルズナビエ＝ストークス方程式の両方に対して成立する。