[論文レビュー] The behavior of Hecke's L-function of real quadratic fields at s=0

Byungheup Jun, Jungyun Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、K_n = Q(√f(n)) と表される実二次体の族に対して、部分 Hecke L 関数の s=0 における特別値の線形性に関する基準を確立する。具体的には、関連するイデアルの連分数展開が特定の条件を満たす場合、n = qk + r のとき L 値が k に関して線形的になることを示す。主な結果は、ベルヌーイ多項式の値を含む明示的公式であり、Biró の手法を用いて素数を法とする剰余制約を介して類数 1 問題を解くことを可能にする。

ABSTRACT

For a family of real quadratic fields $\{K_n=\FQ(\sqrt{f(n)})\}_{n\in \FN}$, a Dirichlet character $χ$ modulo $q$ and prescribed ideals $\{\fb_n\subset K_n\}$, we investigate the linear behaviour of the special value of partial Hecke's L-function $L_{K_n}(s,χ_n:=χ\circ N_{K_n},\fb_n)$ at $s=0$. We show that for $n=qk+r$, $L_{K_n}(0,χ_n,\fb_n)$ can be written as $$\frac{1}{12q^2}(A_χ(r)+kB_χ(r)),$$ where $A_χ(r),B_χ(r)\in \FZ[χ(1),χ(2),..., χ(q)]$ if a certain condition on $\fb_n$ in terms of its continued fraction is satisfied. Furthermore, we write precisely $A_χ(r)$ and $B_χ(r)$ using values of the Bernoulli polynomials. We describe how the linearity is used in solving class number one problem for some families and recover the proofs in some cases. Finally, we list some families of real quadratic fields with the linearity.

研究の動機と目的

• n = qk + r のとき、部分 Hecke L 関数の特別値 L_K_n(0, χ_n, b_n) が k に関して線形的になる条件を同定すること。
• 線形係数 A_χ(r) および B_χ(r) の明示的公式をベルヌーイ多項式および特徴値の観点から与えること。
• s=0 における L 値の線形性を活用して、Biró の手法を一般化し、類数 1 問題を解くこと。
• 既知の Richaud-Degert 型族が線形性基準を満たすことを示し、L 値の振る舞いを制御可能な新たな族を同定すること。

提案手法

• 本稿は、Shintani-Zagier の錐分割を用いて、実二次体上の部分 Hecke L 関数の構造を分析する。
• δ(n) − 1 の純粋周期的連分数展開に基づく基準を導入する。ここで b_n^{-1} = [1, δ(n)] であり、係数 a_i(n) = α_i n + β_i は n に関して線形である。
• n = qk + r の下での和項の周期性および不変性に依拠し、依存関係を r のみに還元する。
• ベルヌーイ多項式の値を用いて、A_χ(r) および B_χ(r) の明示的公式を導出する。これにより、係数が Z[χ(1), ..., χ(q)] に属することが保証される。
• サイクロトミック体におけるイデアル論を用いて、n を素数 p を法として剰余する際の L 値との関係を分析し、類数 1 問題と結びつける。
• 連分数係数が多項式である族に対して、L 値が k に関して N 次多項式となる一般化された枠組みを導入する。このとき係数は r のみに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 δ(n) − 1 の連分数展開がどのような条件下で、n = qk + r のとき L_K_n(0, χ_n, b_n) が k に関して線形的になるか？
• RQ2 L_K_n(0, χ_n, b_n) の線形表現における係数 A_χ(r) および B_χ(r) は、ベルヌーイ多項式の値を用いて明示的に記述可能か？
• RQ3 s=0 における L 値の線形性は、類数 1 問題を解くために、n を素数 p を法として剰余する制約にどのように利用できるか？
• RQ4 どのような実二次体族が線形性基準を満たし、これにより既知の類数 1 問題の結果を再現または拡張できるか？
• RQ5 連分数係数が高次多項式である場合、線形性現象はどのように一般化できるか？

主な発見

• n = qk + r のとき、与えられた連分数およびノルム条件のもとで、特別値 L_K_n(0, χ_n, b_n) は (1/(12q²))(A_χ(r) + kB_χ(r)) と線形に表現され、A_χ(r), B_χ(r) ∈ Z[χ(1), ..., χ(q)] を満たす。
• 係数 A_χ(r) および B_χ(r) はベルヌーイ多項式の値を用いて明示的に与えられ、正確な計算が可能になる。
• K_n の類数が 1 であるとき、線形形式により、条件(*) を満たす素数 p に対して n の p を法とする剰余が特定可能になる。この条件は r、A_χ(r)、B_χ(r) のみに依存する。
• 本手法により、Yokoi の予想を含む既知の類数 1 問題の結果が回復され、新たな実二次体族への応用が可能になる。
• 線形性基準は一般の Richaud-Degert 型族で満たされ、本稿では基準を満たす追加の例も同定されている。
• 連分数係数が次数 N の多項式である族に対して、L 値が k に関して N 次多項式に一般化され、係数は r のみに依存することが提案されている。