[論文レビュー] The Beilinson-Drinfeld Grassmannian and symplectic knot homology

Joel Kamnitzer|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ベイリンソン＝ドルビジンのグラスマンニアンと幾何学的サタケ対応を用いて、シーデル＝スミスとマノレスクのシンプレクティックねじれ homology の構成を一般化し、普遍的な枠組みに位置づける。任意の複素再帰的群および最小小の支配的ウェイトの列に対して、ℙ¹ 上の点の色付き配置空間上のファイブレーションを構成し、ファイバーの真ん中のコホモロジーが対応する表現のテンソル積の不変空間を実現することを示す。ブレード群作用はモノドロミーにより、SL(m) の場合にシンプレクティックねじれ homology と自然な同型を与える。

ABSTRACT

Seidel-Smith and Manolescu constructed knot homology theories using symplectic fibrations whose total spaces were certain varieties of matrices. These knot homology theories were associated to $SL(n) $ and tensor products of the standard and dual representations. In this paper, we place their geometric setups in a natural, general framework. For any complex reductive group and any sequence of minuscule dominant weights, we construct a fibration of affine varieties over a configuration space. The middle cohomology of these varieties is isomorphic to the space of invariants in the corresponding tensor product of representations. Our construction uses the Beilinson-Drinfeld Grassmannian and the geometric Satake correspondence.

研究の動機と目的

• シーデル＝スミスとマノレスクの幾何的設定を、シンプレクティックねじれ homology のための一般的で自然な枠組みに位置づけること。
• ベイリンソン＝ドルビジンのグラスマンニアンを用いて、ℙ¹ 上の点の色付き配置空間上の滑らかな複素アフィン多様体のファイブレーションを構成すること。
• ファイバーの真ん中のコホモロジーが、表現のテンソル積の不変空間に同型であり、対称群作用を伴うことを示すこと。
• シーデル＝スミス（SL₂）およびマノレスク（SLₘ）の既知の構成を、この一般枠組みの特別な場合として回復すること。
• ブレード群作用が、このファイブレーションにおけるモノドロミーから自然に導かれる、導来 Fukaya 圏上に現れることを確立すること。

提案手法

• 滑らかな複素アフィン多様体のファイブレーション、すなわちベイリンソン＝ドルビジンのグラスマンニアンを、色付き配置空間 Confₗambda = (ℙ¹)^n_reg / Σₗambda 上に構成する。
• 点 x におけるファイバーを、無限遠で自明化された ℙ¹ 上の G^∨-バンドルのヘッケ変更のモジュライ空間として定義し、各 x_i において指定された型 λ_i を持つ。
• 幾何学的サタケ対応を用いて、ファイバーの真ん中のコホモロジーが、Σₗambda-表現として (V^{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V^{λₙ})^G に同型であることを証明する。
• ベイリンソン＝ドルビジンのグラスマンニアンの因数分解性質を活用し、マノレスクおよびシーデル＝スミスの主要補題に類似する局所的命題を証明する。
• G = SLₘ かつ λ = (1,…,1,m−1,…,m−1) の場合、ℂ 上のファイブレーションがマノレスクが研究した行列の多様体と同型であることを示す。
• GLₘ-グラスマンニアンへの埋め込みと、Grothendieck の T-バンドルの自明性に関する定理を用いて、ファイバーがアフィン多様体であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーデル＝スミスとマノレスクの幾何的設定を、SL₂ や SLₘ を超えて、任意の再帰的群および最小小の重みへ一般化する方法は何か？
• RQ2 ℙ¹ 上の G^∨-バンドルのヘッケ変更を通じて、シンプレクティックねじれ homology の背後にある自然なモジュライ的構成は何か？
• RQ3 配置空間の基本群のモノドロミー作用が、テンソル積の不変空間上の対称群作用をどのように実現するのか？
• RQ4 ベイリンソン＝ドルビジンのグラスマンニアンが、これらの構成を普遍的枠組みとして提供するのはどのような意味か？
• RQ5 このファイブレーションのファイバーがなぜアフィン的であり、その性質がシンプレクティック圏の構成をどのように支援するのか？

主な発見

• 配置空間上の任意の点におけるファイバーの真ん中のコホモロジーは、Σₗambda-表現として (V^{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V^{λₙ})^G に同型である。
• π₁(Confₗambda) のモノドロミー作用は、対称群 Σₗambda に因数分解される。
• G = SLₘ で重みが (1,…,1,m−1,…,m−1) の場合、ℂ 上のファイブレーションはマノレスクが研究した行列の多様体と同型であり、彼の構成が回復される。
• G = SL₂ の場合、この構成はシーデル＝スミスが研究したファイブレーションを特別な場合として回復する。
• ファイブレーションのファイバーはアフィン多様体であり、忠実な表現と Grothendieck の T-バンドルの自明性に関する定理を用いて証明された。
• ベイリンソン＝ドルビジンのグラスマンニアンと行列多様体の同型は、商空間上の乗算作用素 z による作用 Y の構成を通じて確立された。