[論文レビュー] The Belkale-Kumar cup product and relative Lie algebra cohomology

Sam Evens, William Graham+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化されたフラグ多様体 $G/P$ のコホロジー上の Belkale-Kumar のカップ積族を、相対的リー代数コホロジーを用いて、代数的構成法で新たに与える。カップ積 $𝑜_\tau$ が、パラメータ $t \in \mathbb{C}^m$ に依存するリー代数部分代数 $ \mathfrak{g}_t \subset \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$ と $ \mathfrak{l}_\Delta$ の相対コホロジー環 $H^*(\mathfrak{g}_t, \mathfrak{l}_\Delta)$ と同型であることを特定し、$\tau = t^2$ とすることで、すべてのパラメータに対して一様かつ内在的なカップ積族の実現が得られる。

ABSTRACT

We study the Belkale-Kumar family of cup products on the cohomology of a generalized flag variety. We give an alternative construction of the family using relative Lie algebra cohomology, and in particular, identify the Belkale-Kumar cup product with a relative Lie algebra cohomology ring for every value of the parameter. As a consequence, we extend a fundamental disjointness result of Kostant to a family of Lie algebras. In an appendix, written jointly with Edward Richmond, we extend a Levi movability result of Belkale and Kumar to arbitrary parameters.

研究の動機と目的

• $H^*(G/P, \mathbb{C})$ 上の Belkale-Kumar カップ積族に対する代替的かつ内在的な構成法を、相対的リー代数コホロジーを用いて提供すること。
• $\tau \in \mathbb{C}^m$ のすべての値に対して、パラメータ化されたカップ積 $\odot_\tau$ を相対コホロジー環 $H^*(\mathfrak{g}_t, \mathfrak{l}_\Delta)$ と同定すること。これにより、従来の結果をすべてのパラメータ値に拡張する。
• $\mathbb{C}^m$ でパラメータ付けられるリー代数族への Kostant の非交差定理の一般化を行い、一様なコホロロジー的枠組みを確立すること。
• Belkale と Kumar のリーヴィー可動性基準を、任意のパラメータ $\tau \in \mathbb{C}^m$ にまで拡張すること。幾何的不変量理論とラインバンドルの極限挙動を用いる。

提案手法

• $t \in \mathbb{C}^m$ をパラメータとする、$\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$ のリー代数部分代数族 $\mathfrak{g}_t \subset \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$ を定義し、$t \in (\mathbb{C}^*)^m$ のとき $\mathfrak{g}_t = \operatorname{Ad}(t,t^{-1})\mathfrak{g}_\Delta$ となるようにし、対角リーヴィー部分代数 $\mathfrak{l}_\Delta$ を含むこと。
• 相対コホロジー環 $H^*(\mathfrak{g}_t, \mathfrak{l}_\Delta)$ のベクトル束の全体切断空間 $\mathcal{H}^*(\mathbb{C}^m)$ を構成し、これは $\mathbb{C}[t_1,\dots,t_m]$-代数をなすこと。
• 積 $\odot$ を持つ $\mathbb{C}[t_1,\dots,t_m]$-代数 $H^*(G/P, \mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[t_1,\dots,t_m]$ と $\mathcal{H}^*(\mathbb{C}^m)$ の間に同型を確立し、定理 1.1 の証明を行うこと。
• 一様部分群によるラインバンドルの極限挙動を用いて、非ゼロ切断の非消滅を制御する重み関数 $\mu^{\mathcal{L}}(y,\chi)$ を定義すること。これにより $L_K$-可動性の解析が可能になる。
• 幾何的不変量理論を適用し、Belkale-Kumar 積に現れる有理関数 $F_w(t)/(F_u(t)F_v(t))$ が $\mathbb{C}^m$ 上で正則であることを示し、すべての $t \in \mathbb{C}^m$ に対して積が正しく定義されることを保証すること。
• リーヴィー可動性基準を拡張するため、$\mathbb{C}^*$-作用の固定点におけるラインバンドルのファイバー上での中心 $\mathfrak{z}(\mathfrak{l}_K)$ の作用を解析し、非ゼロ積のコホロロジー的特徴付けを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Belkale-Kumar カップ積族 $\odot_\tau$ は、すべてのパラメータ $\tau \in \mathbb{C}^m$ に対して、相対的リー代数コホロジーを用いて一様に構成可能か？
• RQ2 パラメータ $\tau = 0$ における退化カップ積と一般カップ積は、すべての $t \in \mathbb{C}^m$ に対して相対コホロジー環 $H^*(\mathfrak{g}_t, \mathfrak{l}_\Delta)$ と同型か？
• RQ3 リー代数コホロジーにおける Kostant の非交差定理は、$\mathfrak{g}_t$ の一パラメータ族に一般化可能か？
• RQ4 Belkale と Kumar のリーヴィー可動性基準は、$\tau = \tau_K$ の場合に限らず、任意のパラメータ $\tau \in \mathbb{C}^m$ にまで拡張可能か？
• RQ5 積 $\Lambda_{w_1} \odot_\tau \cdots \odot_\tau \Lambda_{w_s}$ の非ゼロ性に関する正確なコホロロジー的条件は、重みと $\mathfrak{l}_K$ の中心 $\mathfrak{z}(\mathfrak{l}_K)$ を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• すべての $t \in \mathbb{C}^m$ に対して $\tau = t^2$ のもとで、Belkale-Kumar カップ積 $\odot_\tau$ は相対リー代数コホロジー環 $H^*(\mathfrak{g}_t, \mathfrak{l}_\Delta)$ と同型であり、これによりカップ積族全体の均一なコホロロジー的実現が得られる。
• 相対コホロジー束の全体切断空間 $\mathcal{H}^*(\mathbb{C}^m)$ は、積 $\odot$ を持つ $\mathbb{C}[t_1,\dots,t_m]$-代数であり、$H^*(G/P, \mathbb{C}) \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}[t_1,\dots,t_m]$ と同型である。これにより、カップ積族の新しい代数的構成法が確立される。
• Belkale-Kumar 積に現れる有理関数 $F_w(t)/(F_u(t)F_v(t))$ は、幾何的不変量理論により $\mathbb{C}^m$ 全体で正則であることが示され、すべてのパラメータ $t$ に対して積が正しく定義されることを保証する。
• Kostant の非交差定理の一般化を証明した：すべての $t \in \mathbb{C}^m$ に対して相対コホロジー環 $H^*(\mathfrak{g}_t, \mathfrak{l}_\Delta)$ は非退化である。これは、一般および退化の場合の結果を拡張する。
• リーヴィー可動性基準を任意の $\tau \in \mathbb{C}^m$ にまで拡張した：$s$-組 $(w_1,\dots,w_s)$ が $L_\tau$-可動であるための必要十分条件は、$\Lambda_{w_1} \odot_\tau \cdots \odot_\tau \Lambda_{w_s} \neq 0$ かつ $\left(\sum_{j=1}^s \chi_{w_j} - \chi_1\right)(z_\rho) = 0$ が成り立つことである。
• $\tau_K$ が部分集合 $J \subset \{1,\dots,m\}$ に対応するとき、積 $\Lambda_{w_1} \odot_{\tau_K} \cdots \odot_{\tau_K} \Lambda_{w_s} \neq 0$ であるための必要十分条件は、$s$-組が $L_K$-可動であることであり、条件は中心 $\mathfrak{z}(\mathfrak{l}_K)$ に依存する。