[論文レビュー] The Bell-Kochen-Specker Theorem

D. M. Appleby|ArXiv.org|Aug 21, 2003

Physics and Engineering Research Articles参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、メイヤー＝ケント＝クリフォード（MKC）モデルが、球面上の不連続かつ有限精度の彩色によって、その文脈性を回避すると主張するのを踏まえて、ベル＝コーゲン＝スピッカー（Bell-KS）定理を再評価する。著者は、このようなモデルが『病理的』に不連続な彩色を導入し、それが実験的に知り得ないものであることを証明する。これにより、ベル-KS定理の核心的物理的含意――量子測定は事前に存在する性質を明らかにしない――がそのまま維持され、MKCモデルは定理を無効にしないが、古典的測定概念のより深い限界を明らかにする。

ABSTRACT

Meyer, Kent and Clifton (MKC) claim to have nullified the Bell-Kochen-Specker (Bell-KS) theorem. It is true that they invalidate KS's account of the theorem's physical implications. However, they do not invalidate Bell's point, that quantum mechanics is inconsistent with the classical assumption, that a measurement tells us about a property previously possessed by the system. This failure of classical ideas about measurement is, perhaps, the single most important implication of quantum mechanics. In a conventional colouring there are some remaining patches of white. MKC fill in these patches, but only at the price of introducing patches where the colouring becomes ''pathologically'' discontinuous. The discontinuities mean that the colours in these patches are empirically unknowable. We prove a general theorem which shows that their extent is at least as great as the patches of white in a conventional approach. The theorem applies, not only to the MKC colourings, but also to any other such attempt to circumvent the Bell-KS theorem (Pitowsky's colourings, for example). We go on to discuss the implications. MKC do not nullify the Bell-KS theorem. They do, however, show that we did not, hitherto, properly understand the theorem. For that reason their results (and Pitowsky's earlier results) are of major importance.

研究の動機と目的

• MKCモデルがベル＝コーゲン＝スピッカー（Bell-KS）定理の物理的意義を実際に無効にできるかどうかを評価すること。
• コーゲンとスピッカーの定理の物理的含意とベルの解釈との違いを明確にすること。
• MKC風の彩色は数学的に妥当であるが、実験的に知り得ない不連続性を導入し、定理の核心的メッセージを保持することを示すこと。
• 不連続な彩色によるベル-KS定理の回避を試みるあらゆる試みにおいて、常に『白色領域』と同等以上に大きな測度を有する集合が残ることを示す一般定理を証明すること。
• 特にMKCおよびピトウスキーの提案を踏まえて、隠れ変数理論における測定の文脈性の役割を再評価すること。

提案手法

• 論文は、有理数単位球面 $S^2_{\mathbb{Q}}$ 上の不連続関数としてのMKC彩色を分析し、それが通常の可測関数よりもさらに極端に不連続であることを示す。
• 回転作用素 $g_i(\mathbf{m}) = e^{(\theta_0/2)\mathbf{m}\cdot\mathbf{L}}\mathbf{n}_i$ を用いてベクトルを写像し、局所的歪みを定量化するヤコビアン $J_i(\mathbf{m})$ を定義する測度論的枠組みを導入する。
• ルベーグ＝ビタルの定理を用いて、$S^2$ 上での最小ヤコビアン $J(\mathbf{m}) = \min_i J_i(\mathbf{m})$ の積分が正であることを証明し、KS彩色可能な集合の補集合の測度に下界を確立する。
• この方法により、KS彩色可能な集合 $B$ に属さないベクトルの集合の測度に対する下界 $d_{\mathcal{B}} \geq \int_{S^2} J(\mathbf{m}) \, d\mu > 0$ を構築し、このような集合が完全に排除されえないことを証明する。
• ピトウスキーの彩色や、ベル-KS定理を回避しようとする他の試みに対しても分析を拡張し、すべてが同じ根本的障害――不連続領域の実験的観測不能性――に直面していることを示す。
• 幾何学的および測度論的道具（回転不変集合 $E_i$ などを含む）を用いて、有限精度の仮定の下での彩色不能領域の大きさの上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限精度近似を用いるMKC風の彩色は、実際にはベル＝コーゲン＝スピッカー定理の物理的含意を回避できるのだろうか？
• RQ2 MKC彩色における不連続性が生じる領域の測度的広がりはどの程度か？
• RQ3 不連続な彩色によるベル-KS定理の回避を試みるあらゆる試みにおいて、彩色不能領域の大きさに根本的な下界が存在するのだろうか？
• RQ4 MKC彩色の不連続性は、測定が事前に存在する性質を明らかにするという古典的概念にどのように影響を与えるのか？
• RQ5 MKCの主張にもかかわらず、ベル-KS定理は物理的に有意義なままであるのだろうか？

主な発見

• MKCモデルはベル-KS定理を無効にしない。むしろ、その彩色はあまりにも不連続であるため、有限精度の測定では値が知り得ない。
• 論文は一般定理を証明し、KS彩色可能な集合に属さないベクトルの集合の測度が $\int_{S^2} J(\mathbf{m}) \, d\mu > 0$ で下から抑えられることを示し、このような領域が完全に排除されえないことを証明した。
• コンウェイ＝コーゲン集合の場合、彩色不能領域の測度の下界は0.013未満と推定され、積分が最大になると $d_{\mathcal{B}} \lesssim 0.01$ となると考えられる。
• MKC彩色の不連続性はあまりにも深刻であり、彩色値が観測不能になる。これは、定理の核心的メッセージ――古典的測定概念の失敗――を実質的に保つ。
• 分析により、ベルの核心的主張――量子測定は事前に存在する性質を明らかにするのではなく、文脈性によって値を生成する――が、MKCモデルでさえも成立することが確認された。
• 論文は、MKCおよびピトウスキーのモデルが定理の限界をより深く理解する手がかりを提供するが、量子測定に古典性を回復させはしないと結論づける。