[論文レビュー] The Berlekamp-Massey Algorithm via Minimal Polynomials

Graham H. Norton|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ローレンス多項式とインデックス関数を用いて、可換整域上での再帰的最小多項式定理を提示し、ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムの新しい導出を可能にする。体上では、$2\lfloor n^2/4 \rfloor$ 個の乗算で抑えられる、除法を含まない反復的アルゴリズムを確立し、古典的定式化の代わりに透明で代数的根拠を持つ代替手法を提供する。

ABSTRACT

We present a recursive minimal polynomial theorem for finite sequences over a commutative integral domain $D$. This theorem is relative to any element of $D$. The ingredients are: the arithmetic of Laurent polynomials over $D$, a recursive 'index function' and simple mathematical induction. Taking reciprocals gives a 'Berlekamp-Massey theorem' i.e. a recursive construction of the polynomials arising in the Berlekamp-Massey algorithm, relative to any element of $D$. The recursive theorem readily yields the iterative minimal polynomial algorithm due to the author and a transparent derivation of the iterative Berlekamp-Massey algorithm. We give an upper bound for the sum of the linear complexities of $s$ which is tight if $s$ has a perfect linear complexity profile. This implies that over a field, both iterative algorithms require at most $2\lfloor \frac{n^2}{4} floor$ multiplications.

研究の動機と目的

• 可換整域上での有限列に対して、ローレンス多項式算術を用いた再帰的最小多項式定理の構築。
• 拡張ユークリッドのアルゴリズムに依存しない、再帰的インデックス関数と単純な帰納法によるベルレクープ・マッセイの再導出。
• 除法を含まず、任意の可換単位的整域に適用可能な、透明で代数的根拠を持つ反復的ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムの導出。
• 線形複雑度プロファイルが完全な列の線形複雑度の和に対するタイトな上界の確立。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で与えられた線形複雑度 $\ell$ を持つ長さ $n$ の列の数の閉形式表現の導出。

提案手法

• 本稿は、ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムにおける標準的な $m$ パrameterの代わりに、再帰的「インデックス関数」を導入し、最小多項式の再帰的構成を可能にする。
• 可換整域 $D$ 上のローレンス多項式 $D[x^{-1}, x]$ の代数的構造を用いて、有限列の零化多項式および最小多項式を定義する。
• 最小多項式は、列の長さに関する帰納法により再帰的に構成され、零因子の存在しない性質と基本的なローレンス多項式算術のみに依存する。
• 再帰的最小多項式の逆数を取ることで、除法を含まない反復的ベルレクープ・マッセイ定理が得られ、除法を含まない反復的アルゴリズムが導かれる。
• 線形複雑度プロファイルの構造、特に完全なプロファイルを持つ列について、複雑さの境界が導かれる。これにより、乗算に関するタイトな境界が得られる。
• 特定のアルゴリズム的定式化に依存しない、長さ $n$ で線形複雑度 $\ell$ を持つ列の正確な数の導出のための帰納的証明が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換整域上での再帰的最小多項式構成を用いて、ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムをどのように再導出できるか？
• RQ2 線形複雑度プロファイルが完全な長さ $n$ の列の線形複雑度の和に対する、最もタイトな上界は何か？
• RQ3 再帰的最小多項式定理から直接、除法を含まない反復的ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムを導出可能か？
• RQ4 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で、与えられた線形複雑度 $\ell$ を持つ長さ $n$ の列の正確な数は何か？
• RQ5 反復的アルゴリズムの平均ケース複雑度は、古典的定式化と比較してどうか？また、アルゴリズムの実装に依存せずに導出可能か？

主な発見

• 本稿は、ローレンス多項式と新規のインデックス関数を用いた再帰的最小多項式定理を確立し、任意の可換整域上でのベルレクープ・マッセイのアルゴリズムの基礎を提供する。
• 導出された反復的ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムは除法を含まず、[9, p.148] の先行定式化よりも単純で、導出プロセスが透明である。
• 体 $\mathbb{F}$ 上では、アルゴリズムが要する乗算の数は最大で $2\lfloor n^2/4 \rfloor$ 個であり、以前の $\lfloor 3n^2/2 \rfloor$ の上界を改善する。
• $\mathbb{F}_q$ 上の列に対しては、線形複雑度 $\ell$ を持つ長さ $n$ の列の数は、$1 \leq \ell \leq \lfloor n/2 \rfloor$ の場合に $q^{2\ell - 2n - 1}(q - 1)$、$\lfloor n/2 \rfloor < \ell \leq n$ の場合に $q^{2n - 2\ell}(q - 1)$ である。
• 本稿は、[7, Proposition 1] の平均ケース複雑度の公式を、アルゴリズムの実装に依存しない直接的な帰納的証明により導出し、線形複雑度による列の分布を確認する。
• 線形複雑度の和の上界は、列が完全な線形複雑度プロファイルを持つ場合にタイトであり、導出された複雑さの上界の最適性が裏付けられる。