[論文レビュー] The Bernstein center of the category of smooth $W(k)[GL_n(F)]$-modules

David Helm|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

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ひとこと要約

本稿は、$p$-進体 $F$ と、$p$ と異なる標数 $\ell$ の代数的に閉じた体 $k$ をとるとき、smooth $W(k)[\operatorname{GL}_n(F)]$-加群の圏に対してBernstein分解を確立する。各ブロックの中心が、$W(k)$-代数として、特徴が $\ell$- torsion-free で、有限型かつ、$k$-点が超臨界的補助と双対的であることを示し、対称多項式および不変部分環を用いてその中心を明示的に記述する。

ABSTRACT

We consider the category of smooth $W(k)[GL_n(F)]$-modules, where F is a p-adic field and k is an algebraically closed field of characteristic l different from p. We describe a factorization of this category into blocks, and show that the center of each block is a reduced, finite type, l-torsion free W(k)-algebra. Moreover, the k-points of the center of each block are in bijection with the possible "supercuspidal supports" of the smooth $k[GL_n(F)]$-modules that lie in the block. Finally, we describe a large, explicit subalgebra of the center of each block and give a description of the action of this subalgebra on the simple objects of the block, in terms of the description of the classical "characteristic zero" Bernstein center.

研究の動機と目的

• 複素表現におけるBernstein-Deligne理論のBernstein中心を、$W(k)$ 上のsmooth表現へ拡張すること。ここで $W(k)$ は $\ell$-進体のWittベクトル環である。
• $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-加群に対して、$\ell$ を法とするインertial超臨界的補助の概念を定義し、古典的理論を整数的設定へ一般化すること。
• smooth $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-加群の圏を、超臨界的対 $(L,\pi)$ のinertial同値類によってインデックスするブロックへ分解すること。
• 各ブロックの中心を、特徴が $\ell$-torsion-free で、有限型の $W(k)$-代数として記述すること。
• 特別な場合において、中心を不変部分環および対称多項式を用いて明示的な表示を与えること。また、その作用が古典的Bernstein中心構造とどのように関係するかを示すこと。

提案手法

• 単純対象 $\operatorname{Rep}_{W(k)}(\mathrm{GL}_n(F))$ に対して、$\ell$ を法とするインテリア超臨界的補助の新しい概念を導入し、古典的理論を整数表現へ拡張する。
• $W(k)$ の分数体の代数的閉包 $\overline{\mathcal{K}}$ へのベースチェンジ関手を用いて、$W(k)$-圏と $\overline{\mathcal{K}}$ 上での古典的Bernstein分解とを関連付ける。
• ベースチェンジと整合性および整数的条件を用いて、$\overline{\mathcal{K}}$ 上でのBernstein-Deligne中心の記述を $W(k)$ へ持ち上げる。
• 各ブロックの中心 $A_{[L,\pi]}$ を、Weyl群作用による不変量を用いて定義されるHecke型代数 $E_{\nu_j}$ のテンソル積の部分環として構成する。
• G-被覆および放物的誘導の整数的モデルの理論を用いて、中心の構造と単純対象への作用を分析する。
• Weyl群作用による不変性と、cuspidalイデアルの構造を用いて、特定の場合の中心の表示を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$W(k)$ 上のsmooth表現へ、複素表現におけるBernstein分解を拡張できるか？ここで $W(k)$ は、標数 $\ell \neq p$ の有限体のWittベクトル環である。
• RQ2 smooth $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-加群の圏における各ブロックの中心の構造は何か？また、$\overline{\mathcal{K}}$ 上での古典的Bernstein中心とどのように関係するか？
• RQ3 特別な場合、例えば $\ell > m$ または $e_{q^f} \leq m < 2e_{q^f}$ のとき、中心を対称多項式または不変部分環を用いて明示的に記述できるか？
• RQ4 ブロック内の単純対象への中心の作用は、特徴が0の古典的作用とどのように関係するか？
• RQ5 mod $\ell$ インテリア超臨界的補助は、ブロックおよびその中心の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• smooth $W(k)[\mathrm{GL}_n(F)]$-加群の圏は、超臨界的対 $(L,\pi)$ のinertial同値類によってインデックスされるブロックへ分解される。これは、$\mathbb{C}$ 上でのBernstein分解を一般化する。
• 各ブロックの中心 $A_{[L,\pi]}$ は、$W(k)$-代数として、特徴が $\ell$-torsion-free で、有限型かつ、reduced である。
• $A_{[L,\pi]}$ の $k$-点は、ブロック内の単純対象の可能な $\ell$ を法とするインテリア超臨界的補助と双対的である。
• 特に $e_{q^f} > m$ または $\ell > m$ かつ $q^f \equiv 1 \pmod{\ell}$ の場合、中心 $A_{[L,\pi]}$ は $W(k)$ 上の $m$ 変数の対称多項式環、またはその商と同型である。
• より複雑な分割 $\nu$ の場合、中心はHecke代数 $E_{\nu_j}$ のテンソル積の、特定のcuspidalイデアルによる商として記述され、生成子は $\Theta_j$ で、関係式はWeyl群不変性を符号化する。
• ブロック内の単純対象への中心の作用は、$\overline{\mathcal{K}}$ 上での古典的Bernstein中心の作用と整合的であり、中心は古典的中心のベースチェンジに埋め込まれる。