[論文レビュー] The best simultaneous approximation in linear 2-normed spaces

Mehmet Açıkgöz|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、古典的な近似理論の概念を2ノルム設定に拡張することで、線形2ノルム空間における最良同時近似のための新しい枠組みを提案する。厳密な凸性およびコンパクト性の条件下で、固定されたベクトルへの2ノルムの上界の最小化に一意な最小化子が存在することを示し、古典的な結果を2ノルム構造へ一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we shall investigate and analyse a new study on the best simultaneous approximation in the context of linear 2-normed spaces inspired by Elumalai and his coworkers in Elumalai. The basis of this investigation is to extend and refinement the definition of the classical aproximation, best approximation and some related concepts to linear 2-normed spaces.

研究の動機と目的

• 古典的な最良近似理論を線形2ノルム空間の文脈へ拡張すること。
• 固定されたベクトルへの2ノルムの上界に基づく新しい定式化を用いて、2ノルム空間における同時最良近似を定義し分析すること。
• 一意な最良同時近似が存在するための条件を確立すること。
• バナッハ空間近似理論からの結果を2バナッハ空間および2ノルム空間へ一般化すること。
• 2ノルム空間およびその近似理論のための基礎的定義と性質を提供すること。

提案手法

• 固定されたベクトルへの2ノルムの上界を用いて、線形2ノルム空間における最良同時近似の新しい定義を提示する。
• 部分空間 G 内の g について ||x - g, z|| の下界を用いて、2ノルム空間における距離の概念を適用する。
• 部分空間 Y における厳密な凸性およびコンパクト性の性質を用いて、最小化子の一意性を保証する。
• 2ノルムにおける平行四辺形型不等式を用いて一意性を証明し、||y₀ - y₀′, z||² ≤ 0 であることを示し、これにより y₀ = y₀′ が導かれる。
• 最良同時近似の存在および一意性を支持するための補題および命題を導出する。
• コーシー列に対する下界および極限操作を用いて、最適近似への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な最良近似の概念を線形2ノルム空間に意味的に拡張することは可能か？
• RQ2 2ノルム空間において一意な最良同時近似が存在する条件は何か？
• RQ3 固定されたベクトルへの2ノルムの上界が、同時近似の存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ4 厳密な凸性は、2ノルム空間における最良同時近似の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 2関数型および部分空間構造をどのように用いて、2ノルム空間における同時近似問題を定義および解けるか？

主な発見

• 近似集合 Y がコンパクトでかつ空間が厳密に凸である限り、線形2ノルム空間において一意な最良同時近似が存在する。
• x₀ ∉ Y かつ z が G の要素と線形独立であるとき、y ∈ Y について ||x₀ - y, z|| の下界は一意な点 y₀ ∈ Y で達成される。
• 一意性の証明は、2ノルムの平行四辺形型不等式に依拠しており、||y₀ - y₀′, z||² ≤ 0 であることを示し、これにより y₀ = y₀′ が導かれる。
• 与えられた条件下で最良同時近似の存在が保証され、古典的な結果が2ノルム設定へ拡張される。
• 近似誤差の上界形式化により、複数の関数を同時に近似する状況においてもロバスト性が保証される。
• f₁, f₂, b が X において線形独立であるため、非退化な2ノルムの挙動が保証される。