[論文レビュー] The bicanonical map of surfaces with $p_g=0$ and $K^2\ge 7$, II

Margarida Mendes Lopes, Rita Pardini|ArXiv.org|Nov 13, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p_g=0$ かつ $K^2=7$ もしくは $8$ である最小の一般型複素表面で、2次 canonical 写像の次数が 2 であるものの分類を行う。このような表面は、$\mathbb{P}^1$ 上への genus 3 の超楕円的ファイブレーションを許容し、その上で canonical 2次写像の対合がファイバー上に超楕円的対合に制限されることを証明する。$K^2=8$ の場合、ファイブレーションは等質的で、6つの二重ファイバーを持つ。$K^2=7$ の場合、5つの二重ファイバーと、2つの成分を持つ非既約なファイバーを1つ持つ。

ABSTRACT

We study the minimal complex surfaces of general type with $p_g=0$ and $K^2=7$ or 8 whose bicanonical map is not birational. In the paper 'The bicanonical map of surfaces with $p_g=0$ and $K^2\ge 7$' we have shown that if $S$ is such a surface, then the bicanonical map has degree 2. Here we describe precisely such surfaces showing that there is a fibration $f\colon S o \pp^1$ such that: i) the general fibre $F$ of $f$ is a genus 3 hyperelliptic curve; ii) the involution induced by the bicanonical map of $S$ restricts to the hyperelliptic involution of $F$. Furthermore, if $K^2_S=8$, then $f$ is an isotrivial fibration with 6 double fibres, and if $K^2_S=7$, then $f$ has 5 double fibres and it has precisely one fibre with reducible support, consisting of two components.

研究の動機と目的

• 一般型で $p_g=0$ かつ $K^2=7$ もしくは $8$ である最小の複素表面で、canonical 写像が双有理でないものについての分類を目的とする。
• canonical 写像の次数が 2 である場合、そのような表面の幾何的構造を特定すること。
• ファイブレーション構造および canonical 対合がファイバー上にどのように作用するかを特定すること。
• ファイブレーションにおける二重ファイバーおよび非既約ファイバーの存在と性質を確立すること。

提案手法

• canonical 写像の次数を用いて、$p_g=0$ かつ $K^2=7$ もしくは $8$ である表面を分類する。
• 表面における対合理論を応用し、canonical 対合の作用を分析する。
• $\mathbb{P}^1$ 上への一般ファイバーが genus 3 の超楕円的曲線であるファイブレーション $f: S \to \mathbb{P}^1$ を構成する。
• 付随公式および二重被覆理論を用いて、商表面上の canonical 除法を関連付ける。
• コhomオロジー的技法および Serre 対称性を用いて、canonical 系がファイバーに制限されたときの性質を分析する。
• Zariski の補題および 1-連結除法の理論を応用し、基点とファイバー分解を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical 写像が双有理でない場合、一般型で $p_g=0$ かつ $K^2=7$ もしくは $8$ である最小の表面の canonical 写像の構造は何か？
• RQ2 このような表面における canonical 対合は、ファイブレーションのファイバー上に超楕円的対合に制限されるか？
• RQ3 canonical 系によって誘導されるファイブレーション $f: S \to \mathbb{P}^1$ の性質は何か？
• RQ4 $K^2=7$ と $K^2=8$ の場合における二重ファイバーおよび非既約ファイバーの数と種類はどのように異なるか？
• RQ5 この場合、canonical 除法 $K_S$ は ample か？ そしてこれは表面の幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一般型で $p_g=0$、$K^2=7$ または $8$ である表面では、canonical 写像の次数が 2 であり、canonical 対合は一般ファイバー上で超楕円的対合に制限される。
• $K^2_S = 8$ の場合、ファイブレーション $f: S \to \mathbb{P}^1$ は等質的で、正確に 6 つの二重ファイバーを持つ。
• $K^2_S = 7$ の場合、ファイブレーションには 5 つの二重ファイバーと、正確に 1 つの非既約なファイバー（2 つの成分を持つ）がある。
• 両ケースにおいて canonical 除法 $K_S$ は ample である。
• ファイブレーション構造は、canonical 系の幾何と対合の作用によって決定される。
• このような表面のモジュライ空間は、予想される次元が 0 であるにもかかわらず、孤立ではない。これは豊かな変形理論を示唆する。