[論文レビュー] The bicategory of corings

Tomasz Brzeziński, Laiachi El Kaoutit+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、有限生成かつ射影的双モジュラーを介してコリングのベース環拡張を導入し、双モジュラーの2-圏におけるコモナドとしてのコリングを扱う2-圏的枠組みを確立する。コリング間のモジュール準同型を定義し、余モジュール圏間の引き戻し関手および押し出し関手を誘導し、これらの関手が全単射的または同値となる条件を同定する。主な結果として、モジュール準同型の同型が押し出し関手の自然同型と関連していることが示される。

ABSTRACT

To a B-coring and a (B,A)-bimodule that is finitely generated and projective as a right A-module an A-coring is associated. This new coring is termed a base ring extension of a coring by a module. We study how the properties of a bimodule such as separability and the Frobenius properties are reflected in the induced base ring extension coring. Any bimodule that is finitely generated and projective on one side, together with a map of corings over the same base ring, lead to the notion of a module-morphism, which extends the notion of a morphism of corings (over different base rings). A module-morphism of corings induces functors between the categories of comodules. These functors are termed pull-back and push-out functors respectively and thus relate categories of comodules of different corings. We study when the pull-back functor is fully faithful and when it is an equivalence. A generalised descent associated to a morphism of corings is introduced. We define a category of module-morphisms, and show that push-out functors are naturally isomorphic to each other if and only if the corresponding module-morphisms are mutually isomorphic. All these topics are studied within a unifying language of bicategories and the extensive use is made of interpretation of corings as comonads in the bicategory Bim of bimodules and module-morphisms as 1-cells in the associated bicategories of comonads in Bim.

研究の動機と目的

• 同じベース環上のコリング間のモジュール準同型を導入することで、コリング準同型の概念を一般化すること。
• 双モジュラーにおける分離性およびフロベニウス構造といった性質が、誘導されるベース環拡張コリングにどのように継承されるかを調べること。
• 双モジュラーの2-圏におけるコモナドとしてのコリングを用いた2-圏的枠組みを確立し、コリングおよびその準同型の統一的取り扱いを可能とすること。
• モジュール準同型によって誘導される余モジュール圏間の引き戻し関手および押し出し関手の振る舞いを分析すること。
• 引き戻し関手が全単射的または同値となる条件、および押し出し関手が自然同型となる条件を同定すること

提案手法

• 右Aモジュラーとして有限生成かつ射影的である(B,A)-双モジュラーとBコリングから、ベース環拡張として新たなAコリングを構成する。
• 同じベース環上での写像としてコリング間のモジュール準同型を定義し、標準的なコリング準同型を一般化する。
• コリングを双モジュラーの2-圏Bimにおけるコモナドとして表現し、モジュール準同型を関連するコモナドの2-圏における1-セルとして表現する。
• 2-圏的構造を用いて、モジュール準同型によって誘導される余モジュール圏間の引き戻し関手および押し出し関手を解釈する。
• 双モジュラーおよびコリング構造に関する代数的条件を用いて、引き戻し関手の全単射性および同値性を特徴付ける。
• 基になるモジュール準同型が同型である場合に、押し出し関手が自然同型となる基準を確立する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双モジュラーの分離性およびフロベニウス性が、誘導されるベース環拡張コリングにどのように伝わるか？
• RQ2 余モジュール圏間の引き戻し関手が全単射的または同値となる条件は何か？
• RQ3 モジュール準同型によって誘導される押し出し関手が自然同型となる条件は何か？
• RQ4 Bimにおけるコモナドの2-圏的枠組みが、コリングおよびその準同型の研究をどのように統一するか？
• RQ5 双モジュラーの有限生成かつ射影的性質が、ベース環拡張の構成および解析において果たす役割は何か？

主な発見

• 有限生成かつ射影的双モジュラーによるコリングのベース環拡張は、元のBコリングの構造を保ったまま新たなAコリングを生成する。
• 双モジュラーの分離性およびフロベニウス性は、誘導されるベース環拡張コリングに対しても同様の性質として反映される。
• 引き戻し関手が全単射的であることは、双モジュラーがコリング構造に関連する特定の条件を満たすことと同値である。
• 引き戻し関手が同値であることは、双モジュラーが生成子であり、かつコリング準同型が特定の分解条件を満たすことと同値である。
• 押し出し関手が自然同型であることは、対応するモジュール準同型がコモナドの2-圏における1-セルとして同型であることと同値である。
• 全体の枠組みは、コリングがコモナドであり、モジュール準同型が1-セルである2-圏Bimにおけるコモナドの2-圏を通じて統一的に構築される。