[論文レビュー] The big Chern classes and the Chern character

Ajay C. Ramadoss|ArXiv.org|Dec 5, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標数0の体上の滑らかなスキーム上の多微分作用素複体に誘導されたリー代数構造を確立し、接バンドルを-1ずらしたものが導来圏におけるリー代数的対象をなすことを示している。特筆すべきは、対称化写像が積と可換でない要因がアティヤ類を含む因子によって定まることが示され、普遍包あらゆる代数の構成を用いて、チェーンクラスの明示的公式がチェーン指標を用いて与えられる。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth scheme over a field of characteristic 0. Let $\dd^{\bullet}(X)$ be the complex of polydifferential operators on $X$ equipped with Hochschild co-boundary. Let $L(\dd^1(X))$ be the free Lie algebra generated over $\strc$ by $\dd^1(X)$ concentrated in degree 1 equipped with Hochschild co-boundary. We have a symmetrization map $I: \oplus_k \sss^k(L(\dd^1(X))) ar \dd^{\bullet}(X)$. Theorem 1 of this paper measures how the map $I$ fails to commute with multiplication. A consequence of Theorem 1 and Theorem 2 is Corollary 1, a result "dual" to Theorem 1 of Markarian [3] that measures how the Hochschild-Kostant-Rosenberg quasi-isomorphism fails to commute with multiplication. In order to understand Theorem 1 conceptually, we prove a theorem (Theorem 3) stating that $\dd^{\bullet}(X)$ is the universal enveloping algebra of $T_X[-1]$ in $\dcat$. An easy consequence of Theorem 3 is Theorem 4, which interprets the Chern character $E$ as the "character of the representation $E$ of $T_X[-1]$" and gives a description of the big Chern classes of $E$. Finally, Theorem 4 along with Theorem 1 is used to give an explicit formula (Theorem 5) expressing the big Chern classes of $E$ in terms of the components of the Chern character of $E$.

研究の動機と目的

• ホッフシュチルド＝コスタント＝ローゼンバーグの準同型が積と可換でない背後にある概念的メカニズムを理解すること。
• 多微分作用素上のリー代数構造を用いて、接バンドルのアティヤ類を真の複体写像として実現すること。
• 大きなチェーンクラスをチェーン指標の成分で表す明示的公式を提供すること。
• チェーン指標を導来圏におけるリー代数 $ T_X[-1] $ の表現の特徴として解釈すること。
• マークァリアン [3] とカルダルル [10] の知見を統合し、チェーンクラス計算のための整合的な枠組みを構築すること。

提案手法

• 次数1に集中し、ホッフシュチルドコバウンダリーを持つ $ \text{D}_{\text{poly}}^1(X) $ 上の自由リー代数 $ L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X)) $ を構成する。
• 複体の同型である $ I: \bigoplus_k \text{Sym}^k(L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X))) \to \text{D}_{\text{poly}}^\bullet(X) $ である対称化写像を導入する。
• $ \text{ad} = \text{ad} \times \frac{\text{ad}}{1 - e^{-\text{ad}}} $ を満たす写像 $ \bar{\rho} $ を定義し、$ I $ が積と可換でない要因を符号化する。
• 普遍包あらゆる代数の構成を用いて、$ \text{D}_{\text{poly}}^\bullet(X) $ が $ \text{D}^+(X) $ 内の $ T_X[-1] $ の普遍包あらゆる代数であることを示す。
• 自然なリー代数括弧 $ \text{ad} $ を用いて、$ \text{D}_{\text{poly}}^1(X) $ のリー代数上の複体 $ L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X)) $ に、$ T_X[-1] \to L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X)) $ の準同型 $ \beta $ を構成し、アティヤ類を $ L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X)) $ 上の真のリー括弧として実現する。
• 対称冪上の $ \frac{\omega}{1 - e^{-\omega}} $-歪み積を用いて、チェーン指標を介した大きなチェーンクラスの明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称化写像 $ I $ は、多微分作用素複体における積とどのように可換でないか？
• RQ2 多微分作用素上のリー代数構造を用いて、接バンドルのアティヤ類を真の複体写像として実現できるか？
• RQ3 導来代数幾何学において、チェーン指標と大きなチェーンクラスの関係に概念的説明は可能か？
• RQ4 導来圏内において、$ T_X[-1] $ の普遍包あらゆる代数を $ \text{D}_{\text{poly}}^\bullet(X) $ と同一視できるか？
• RQ5 大きなチェーンクラスをチェーン指標の成分で表す明示的公式は何か？

主な発見

• 定理1は、対称化写像 $ I $ が積と可換でない要因が、$ \omega $ が随伴作用を符号化する $ \frac{\omega}{1 - e^{-\omega}} $-歪み積を含む因子によって定まることを確立している。
• 定理2は、$ T_X[-1] $ が $ L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X)) $ に準同型であり、自然なリー括弧が $ T_X $ のアティヤ類を $ \text{Ch}^+(\mathcal{O}_X\text{-mod}) $ 内の真の写像として実現することを証明している。
• 定理3は、$ \text{D}_{\text{poly}}^\bullet(X) $ が $ \text{D}^+(X) $ 内の $ T_X[-1] $ の普遍包あらゆる代数として同定されることを示し、チェーン指標構成の概念的基盤を提供する。
• 定理4は、ベクトルバンドル $ E $ のチェーン指標を、リー代数 $ T_X[-1] $ の表現としての作用の特徴として解釈し、大きなチェーンクラスの記述をもたらす。
• 定理5は、$ L(\text{D}_{\text{poly}}^1(X)) $ の対称冪上の $ \frac{\omega}{1 - e^{-\omega}} $-歪み積を用いて、$ E $ の大きなチェーンクラスをそのチェーン指標の成分で表す明示的公式を与える。
• 本稿は、$ \text{D}_{\text{poly}}^\bullet(X) $ に導来リー代数構造を確立し、ホッフシュチルド＝コスタント＝ローゼンバーグの同型と特徴類を表現論を介して統合した。